Механика. Молотков Н.Я - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

115
kx
dt
xd
m −=
2
2
или
0
2
2
=+ x
m
k
dt
xd
, (7.2.1)
т.е. движение пружинного маятника описывается линейным диффе-
ренциальным уравнением второго порядка. Ниже покажем, что его
решение имеет вид
(
)
00
sin ϕ+ω= txx
m
. (7.2.2)
Данное уравнение называется уравнением гармонических колеба-
ний. Исследуем его. Так как
(
)
00
sin ϕ+ω t
изменяется с течением вре-
мени от +1 до –1, то величина мгновенного смещения x маятника от
положения равновесия изменяется в пределах от
m
x+
до
m
x−
. Макси-
мальное смещение
m
x
маятника от положения равновесия называется
амплитудой колебаний, которая зависит от начальных условий приве-
дения маятника в колебание. Величина
0
ϕ
называется начальной фа-
зой, которая определяет смещение маятника от положения равновесия
в начальный момент времени
0
=
t
, т.е.
00
sinϕ=
m
xx
. Величина
(
)
0
ϕ+ωt
называется фазой колебания, которая определяет мгновенное
смещение
x
маятника в любой момент времени. Поскольку синус яв-
ляется периодической функцией с периодом
π
2
, то состояние системы
повторяется через равные промежутки времени Т. Следовательно,
справедливо равенство
(
)
[
]
(
)
π+ϕ+ω=ϕ++ω 2sinsin
000
tTt
,
откуда найдём
T
π
=ω
2
0
, (7.2.3)
где Т – период гармонических колебаний – время, за которое совершает-
ся одно полное колебание. Учитывая, что период колебаний обратно
пропорционален частоте
ν
, под которой понимается число полных
колебаний, совершаемых системой за единицу времени
ν
=
1
T
, получим
πν=ω 2
0
. (7.2.4)
Величина
0
ω
, показывающая число полных колебаний, совер-
шаемых системой за
π
2
секунд, называется круговой или циклической
частотой.
На основании изложенного, уравнение гармонических колебаний
может быть представлено в виде
( )
00
2sin
2
sin ϕ+πν=
ϕ+
π
= txt
T
xx
mm
.

Страницы