Оптика и квазиоптика СВЧ. Молотков Н.Я - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Легко видеть, что фазы колебаний вторичных волн образуют арифметическую прогрессию: 0, ϕ, 2ϕ, 3ϕ, ...
. Результирующая амплитуда вторичных волн в произвольной точке наблюдения может быть найдена из выра-
жения
()
[]
ϕ−
+
+
ϕ
+
ϕ
+
=
1cos...2coscos
0000
NEEEEE , (3.13.5)
где E
0
– амплитуда волны, приходящей от одной атомной плоскости.
Вычисление указанной суммы удобно провести с помощью векторной диаграммы, которая представляет
собой ломаную линию, состоящую из
N звеньев одинаковой длины E
0
. Причём каждое звено образует одинако-
вый угол
ϕ с предыдущим звеном. Заметим, что аналогичная задача возникает при изучении теории дифракции
света на периодических структурах или при многолучевой интерференции на базе, например, интерферометра
Фабри–Перо. Расчёт показывает, что амплитуда результирующего колебания при сложении колебаний, фазы
которых образуют арифметическую прогрессию, может быть найдена по формуле (2.8.3):
E = E
0
2
sin
2
sin
ϕ
ϕN
. (3.13.6)
Очевидно, что амплитуда результирующего колебания будет максимальной тогда, когда векторная диа-
грамма вырождается в прямую линию, т.е., когда
ϕ = 2mπ, (3.13.7)
где m = 0, 1, 2, 3, ... . При этом амплитуда результирующей волны будет иметь значение E = NE
0
, так как, пользу-
ясь правилом Лопиталя для раскрытия неопределённости
0
0
, на основании формулы (3.13.6) имеем
N
m
NmN
N
m
±=
π
π
=
ϕ
ϕ
π→ϕ
)cos(
)cos(
2
sin
2
sin
lim
. (3.13.8)
Таким образом, на основании выражений (3.13.2) и (3.13.7) находим условие образования главных макси-
мумов интерференции для рентгеновского излучения
2kd sinθ = 2mπ,
из которого следует закон Вульфа–Брэггов
2d sinθ = mλ. (3.13.9)
Очевидно, амплитуда результирующей волны будет равна нулю, когда векторная диаграмма складывае-
мых колебаний образует замкнутый многоугольник. Это имеет место при выполнении условия
ϕ =
n
N
π
±
2
, (3.13.10)
где n – целые числа, за исключением кратных N. Следовательно, минимумы интерференции вторичных волн бу-
дут наблюдаться при условии
2kd sinθ = ,
2
n
N
π
или при
2
d sinθ = λ
N
n
, (3.13.11)
где n = 1, 2, 3, ..., (N – 1), (N + 1), ... . Побочные максимумы будут наблюдаться между n
N
π
=ϕ
2
и )1(
2
+
π
=ϕ n
N
.
Причём, между главными максимумами при интерференции
N волн образуется (N – 2) побочных максимумов и
(
N – 1) минимумов.
Таким образом, доказано, что условие Вульфа–Брэггов (3.13.9) определяет лишь положение главных мак-
симумов при дифракции рентгеновского излучения. Вследствие многолучевой интерференции при дифракции
рентгеновского излучения происходит значительное увеличение интенсивности главных максимумов и их су-
жение, что и наблюдается в реальных условиях практической рентгенографии.
На рисунке 182 представлена модель кристалла, позволяющая показать справедливость закона Вульфа–
Брэггов с помощью радиоволн сантиметрового диапазона. Модель состоит из металлических диполей, изготов-
ленных из двухмиллиметровой медной проволоки. Длина каждого диполя равна
λ
2 , где λ – длина волны ис-
пользуемого излучения. Диполи закреплены в двенадцати диэлектрических штангах из органического стекла
длиной 30 см каждая и образуют пространственную решётку с трансляциями
а = b = 12 см и с = 2 см. Трансля-

Страницы