ВУЗ:
Составители:
РИС. 1.2. СКОРОСТЬ И ГРАДИЕНТ СКОРОСТИ В КАПИЛЛЯРНОЙ ТРУБКЕ
произведение площади, коэффициента вязкости
η
ж
и градиента скорости dW/dr, выразится в виде
d
r
dW
rlF
жк
2 ηπ=
η
Если предположить, что движение цилиндра не ускоряется, т.е. W остается постоянной, то силы F
p
и F
η
должны быть
равны и противоположно направлены, т.е.:
F
p
= –F
η
,
поэтому
d
r
dW
lPr
жк
2 η−=∆ , (1.18)
откуда градиент скорости будет равен
жк
2 η
∆
−=
l
Pr
dr
dW
. (1.19)
Интегрируя (1.19), находим, что
C
l
Pr
W +
η
∆
−=
жк
2
4
. (1.20)
Для определения константы интегрирования С необходимо найти граничное условие. Обычное предположение
заключается в том, что слой, соприкасающийся со стенкой трубки, прилипает к ней, поэтому скорость течения жидкости W =
0 при r = r
к
. Константу интегрирования с учетом граничного условия определим в виде
жк
2
к
4 η
∆
=
l
Pr
C
.
После подстановки С в (1.20) получаем определенное выражение для скорости:
()
2
2
к
жк
4
rr
l
P
W −
η
∆
=
. (1.21)
Уравнение (1.21) представляет собой уравнение параболы (рис. 1.2), ось которой совпадает с осью W, тогда как ось r
находится на расстоянии
жк
2
к
4 η
∆
l
Pr
от вершины кривой. Частицы жидкости, находившиеся в плоскости АА в момент,
соответствующий начальному времени, окажутся через единицу времени на поверхности параболоида, профиль которого
определяется уравнением (1.21), другими словами, объем этого параболоида равен объему жидкости V, протекающему по
капиллярной трубке в единицу времени, т.е. объемному расходу Q. Объем этого тела вращения равен
∫
π=
к
0
2
r
WrdrQ .
Подставляя в это уравнение значение W, получаем
∫
η
∆π
=−
η
∆π
=
к
0
жк
4
к
2
2
к
жк
8
)(
2
r
l
rP
rdrrr
l
P
Q
. (1.22)
Это выражение идентично тому, которое было найдено Пуазейлем эмпирически. Формула (1.22) называется формулой
Пуазейля. Формула Пуазейля была получена ранее в п. 1.1.2 из системы дифференциальных уравнений Навье–Стокса [45].
Формула Пуазейля справедлива для ламинарного потока жидкости. Осборн Рейнольдс доказал, чем больше вязкость
жидкости, тем слабее проявляется ее способность образовывать вихри. Константой, определяющей характер потока, является
кинематическая вязкость. В трубе с постоянными геометрическими размерами жидкость с меньшей кинематической
вязкостью, образует вихри при меньших скоростях, чем жидкость с большей кинематической вязкостью.
Рейнольдс показал, что условия потока для каждой капиллярной трубки и жидкости характеризуются некоторым
критерием, не имеющим размерности. Такой критерий называется критерием Рейнольдса [46]
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
