Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 144 стр.

UptoLike

Составители: 

144
(формула (11.10)), то 1/
Tkr
U
p
),(
r
r
τ
. Все остальные величины в
правой части (10.23) не зависят от Т. Следовательно
1
T
κ
в области высоких температур.
Оценим теперь
),( kr
U
p
r
r
τ
и κ по порядку величины.
Матричный элемент
),,,,,(
121
kkgpppC
r
r
r
может быть оценен как
, поскольку (смотри параграф 9.4)
содержит малость u/d в третьей степени. Дельта-функция дает
вклад порядка
4/32/1
)/( MmEN
eат
3
ˆ
H
)(/1 k
p
r
h
ω
, так как, чтобы ее снять при
интегрировании по
k
r
, нужно перейти к переменной,
совпадающей с аргументом
δ
-функции. Интеграл по
k
d
r
3
дает
величину порядка 1/v
яч
. Окончательно из (10.23) имеем
2
2/3
2
~
),(
1
D
e
яч
ат
U
p
T
M
m
vN
VE
kr
θτ
h
r
r
. (11.17)
При этом считается, что характерное значение
.
Поскольку
, а , то
Dp
k
θω
~)(
r
h
VvN
яч
=
Deат
MmE
θ
~)/(
2/1
2/1
~
),(
1
M
m
T
kr
e
U
p
h
r
r
τ
.
Предполагая, что
порядка скорости звука s, и учитывая,
что теплоемкость c
)(kv
p
r
V
практически не изменяется в области
высоких температур, получаем
κ
. (11.18)
TmMscsc
eVUV
/)/( ~ ~
2/122
h
ρτρ
                                     144
                              r r
(формула (11.10)), то 1/τ Up (r , k ) ∝ T . Все остальные величины в
правой части (10.23) не зависят от Т. Следовательно

                                  κ ∝ T −1

в области высоких температур.
                       U r
                             r
     Оценим теперь τ p ( r , k )   и κ по порядку величины.
                                  r r r
Матричный элемент C ( p, p1, p2 , g , k , k1 ) может быть оценен как
N −1 / 2 Eат (me / M )3 / 4 , поскольку (смотри параграф 9.4) Ĥ 3
содержит малость u/d в rтретьей степени. Дельта-функция дает
вклад порядка 1 / hω p (k ) , так как, чтобы ее снять при
                               r
интегрировании по k , нужно перейти к переменной,
                                                           r
совпадающей с аргументом δ-функции. Интеграл по d 3k дает
величину порядка 1/vяч. Окончательно из (10.23) имеем

                                   2                3/ 2
                        1       VE ат      ⎛ me ⎞              T
                     U r
                            r ~            ⎜    ⎟                  .   (11.17)
                   τ p (r , k ) hNv яч     ⎝ M  ⎠          θ D2
                                                   r
При этом считается, что характерное значение hω p (k ) ~ θ D .
Поскольку Nv яч = V , а E ат (me / M )1/ 2 ~ θ D , то

                                                    1/ 2
                               1        T ⎛ me ⎞
                               r   r  ~   ⎜ ⎟              .
                         τ Up (r , k ) h ⎝ M ⎠
                      r
Предполагая, что v p (k ) порядка скорости звука s, и учитывая,
что теплоемкость cV практически не изменяется в области
высоких температур, получаем

                 κ ~ ρ cV s 2τ U ~ ρ cV s 2h( M / me )1 / 2 / T .      (11.18)