Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 17 стр.

                                      17

     В кристаллах существуют оси симметрии второго, третьего,
четвертого и шестого порядков.
     Для того, чтобы продемонстрировать отсутствие осей
симметрии других порядков, докажем вспомогательную теорему.
     Теорема: нельзя полностью заполнить плоскость
правильными выпуклыми многоугольниками с числом сторон
n=5 и n ≥ 7.
     Доказывать эту теорему будем от обратного. Пусть
плоскость полностью заполнена правильными n-угольниками.
При этом вершина многоугольника является местом стыковки k
многоугольников (k – натуральное число большее двух).
Например, в случае заполнения плоскости правильными
шестиугольниками (n=6) k=3 (рис.1.11б). Поскольку внутренний
угол правильного выпуклого многоугольника αn равен
α n = 1800 (n − 2) / n       (доказательство   этого    предоставляем
читателю), то αn ⋅ k = 3600 . Подставляя значение αn , получаем
условие
                          k ( n − 2 ) = 2n ,               (1.3)

где k и n – натуральные числа, превосходящие 2. Из условия k ≥ 3
находим 2n /(n − 2) ≥ 3 ⇒ n ≤ 6 . Перебирая n=3, 4, 5, 6 находим из
формулы (1.3) соответствующие значения k (смотри таблицу 1.2.)

                                                          Таблица 1.2.

                         n                       k

                         3                       6

                         4                       4

                         5                          1
                                                3
                                                    3

                         6                       3