Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C
n
0
U = 0 C = n
0
n(x, y, z) = n
0
e
−U(x,y,z)/kT
.
C
n(x, y, z) dV
dV x y z
n(x, y, z) V
N
C =
N
Z
V
e
−U/kT
dV
.
n
1
n
2
n
1
n
2
= e
−(U
1
−U
2
)/kT
,
U
1
U
2
C
z
~
F = m~g ~g
z
U(z) = mgz U = 0
z = 0
n(z) p(z)
kT
U(z)
kT
=
mgz
kT
=
µgz
RT
,
µ = N
A
m R = kN
A
p(z) = p(z = 0) e
−µgz/RT
,
   Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîé C , âõîäÿùåé â ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà, òðåáóåò-
ñÿ îäíî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå. Íàïðèìåð, åñëè èçâåñòíà êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë
n0 â òî÷êå, ãäå U = 0, òî, î÷åâèäíî, C = n0 è ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà çàïèøåòñÿ
â âèäå
                              n(x, y, z) = n0 e−U (x,y,z)/kT .            (6.62)
Äðóãîé ÷àñòî èñïîëüçóåìûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ C îñíîâàí íà óñëîâèè íîðìèðîâêè
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà n(x, y, z) dV ðàâíà ÷èñëó
ìîëåêóë â áåñêîíå÷íî ìàëîì îáúåìå dV îêîëî òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x, y , z . Ïîýòîìó
èíòåãðàë îò n(x, y, z) ïî âñåìó îáúåìó ãàçà V äîëæåí áûòü ðàâåí ïîëíîìó ÷èñëó
ìîëåêóë N . Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (6.61) äëÿ ðàâíîâåñíîé êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë,
íàõîäèì, ÷òî
                                          N
                                 C=Z             .                           (6.63)
                                       e−U/kT dV
                                     V

Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îòíîøåíèå êîíöåíòðàöèé
ìîëåêóë n1 è n2 â íåêîòîðûõ òî÷êàõ 1 è 2. Èç ôîðìóëû (6.61) ñëåäóåò, ÷òî ýòî
îòíîøåíèå ðàâíî
                              n1
                                 = e−(U1 −U2 )/kT ,                    (6.64)
                              n2

ãäå U1 è U2  çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìîëåêóëû â òî÷êàõ 1 è 2. Ìû âèäèì,
÷òî îòíîøåíèå ðàâíîâåñíûõ êîíöåíòðàöèé ìîëåêóë â äâóõ òî÷êàõ íå çàâèñèò îò çíà-
÷åíèÿ ïîñòîÿííîé C è, êðîìå òîãî, íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè, ãäå ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.
   Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà ïðèìåíèìî äëÿ ëþáîãî âíåøíåãî
ïîòåíöèàëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ, äåéñòâóþùåãî íà ìîëåêóëû ãàçà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ðàâíîâåñíûé ãàç íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Íàïðàâèì îñü z ñèñòåìû
êîîðäèíàò ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ñèëû òÿæåñòè F~ = m~g , ãäå ~g  óñêîðåíèå
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû çàâèñèò òîëüêî îò z è
ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå U (z) = mgz ; êàê îáû÷íî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî U = 0 ïðè
z = 0. Ïðåæäå ÷åì ïîäñòàâëÿòü âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ðàñïðåäå-
ëåíèå Áîëüöìàíà, ïåðåéäåì îò êîíöåíòðàöèè n(z) ê äàâëåíèþ p(z), êîòîðîå ìîæåò
áûòü íåïîñðåäñòâåííî èçìåðåíî. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîñòî óìíîæèòü îáå ÷àñòè ñîîò-
íîøåíèÿ (6.62) íà kT è çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ (6.59). Êðîìå
òîãî, â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â (6.62) çàïèøåì

                               U (z)   mgz   µgz
                                     =     =     ,                           (6.65)
                                kT     kT    RT
ãäå µ = NA m  ìîëÿðíàÿ ìàññà ãàçà è R = kNA  ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ñ ó÷å-
òîì ñêàçàííîãî âûøå, ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà (6.62) â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè
ïðåîáðàçóåòñÿ â òàê íàçûâàåìóþ áàðîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó

                             p(z) = p(z = 0) e−µgz/RT ,                      (6.66)



                                         70

Страницы