Общая физика. Молекулярная физика: Структурированный конспект лекций. Ч.1. Москвич О.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

29
ТЕМА 4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
Одной из важнейших проблем молекулярной физики является вопрос о распределении
энергии ε
0
между отдельными частями изолированной системы. На вопрос, какова
вероятность того, что некоторая подсистема обладает определенной энергией
α
ε
, при
условии, что
0
εε
α
<<
(4.1),
получил ответ американский физик–теоретик Джозайя Уиллард Гиббс в 1901 году.
Вывод закона распределения энергий на основе базового определения вероятности
макроскопического состояния системы приведен ниже.
4.1
Схема вывода распределения Гиббса
Описание системы
Рассмотрим систему, принадлежащую микроканоническому ансамблю, тогда любая
ее часть – подсистема, принадлежит каноническому ансамблю (рис.3):
ε
0
– полная энергия системы;
ε
α
– энергия подсистемы;
ε
0
-
ε
α
– энергия оставшейся части системы
Рис.3
Актуальные свойства модели системы
• Система находится в состоянии термодинамического равновесия;
•
Подсистема, как отдельная система канонического ансамбля, может
содержать произвольное, но не очень большое, число частиц, поскольку ее
энергия должна быть всегда много меньше полной энергии системы (4.1);
•
Виды движения, наличие или отсутствие силовых полей имеют
единственное ограничение – они должны быть совместимы с состоянием
те
р
модинамического
р
авновесия
;
Постановка задачи
Какова вероятность P(ε
α
) того, что рассматриваемая подсистема
находится в состоянии с энергией ε
α
?
30
Вывод закона
Определение вероятности
0
Γ
Γ
=
α
P справедливо для системы принадлежащей
микроканоническому ансамблю, поэтому мы определяем вероятность
интересующего нас события через микроскопические состояния всей системы.
Для простоты проведем вывод закона для дискретного случая распределения
энергии.
•
По определению вероятность макроскопического состояния системы:
()
00
0
)(
)(
ε
εε
ε
αα
α
Γ
−Γ
=P ;
•
(
)
αα
εε
−Γ
0
- число микросостояний полной системы, посредством которых
осуществляется состояние с энергией ε
α
у подсистемы;
•
(
)
00
ε
Γ - полное число микросостояний системы;
•
Используя очевидное соотношение:
aa lnexp
=
преобразуем формулу для вероятности макроскопического состояния:
()
()
()
αα
εε
α
ε
ε
−Γ
Γ
=
0
ln
00
1
eP ;
•
Поскольку ε
α
<< ε
0
, а логарифм – медленно меняющаяся функция, разложим
(
)
αα
εε
−Γ
0
ln
в ряд Тейлора в точке ε
0
, ограничившись в разложении
линейным по ε
α
членом:
()()
(
)
0
0
00
ln
lnln
ε
ε
εεεε
α
αααα
∂
Γ∂
−Γ=−Γ
, где
()
0
ε
α
Γ
-
число микросостояний полной системы, посредством которых осуществляется
состояние с нулевой энергией у рассматриваемой подсистемы;
•
(
)
0
0
ln
ε
ε
α
∂
Γ∂
>0 – т.е. с увеличением энергии число микросостояний растет;
•
Ответ:
βεε
ε
ε
ε
α
α
α
α
α
ε
ε
−∂
Γ∂
−
Γ
=
Γ
= AeeeP
0
0
0
)(ln
)(ln
00
)(
1
)(,
где
0
0
)(ln
00
0
)(
1
Γ
Γ
=
Γ
=
Γ
α
ε
α
ε
eA - постоянная, которая определяется из условия
нормировки.
Полученные результаты можно перенести и на случай непрерывного изменения
энергии.

Страницы