ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
71
11.2
Стационарные уравнения переноса в газах, жидкостях и твердых телах
Уравнения переноса таких процессов как теплопроводность, диффузия, внутреннее
трение были получены в рамках феноменологической теории. Все они имеют однотипную
математическую структуру, отражающую причинно-следственную связь. В качестве
причины рассматривается наличие градиента некоторого макроскопического параметра,
следствием же является возникновение потока определенного молекулярного свойства.
Реакция системы на внешнее воздействие в конкретных процессах
переноса
однозначно определяется
принципом Ле Шателье – Брауна:
Рассмотрим стационарные одномерные уравнения переноса, которые использовались в
научной практике задолго до создания молекулярно-кинетической теории.
Такой вид уравнений справедлив для газов, жидкостей и твердых тел. Знак «-» в
уравнениях обусловлен тем, что направление потока, противоположно градиенту
макроскопического параметра. Специфика системы «зашифрована» в коэффициентах
переноса. В
рамках макроскопического подхода эти коэффициенты определяют
эмпирическим способом. Молекулярно-кинетическая теория позволяет получить
выражения для этих коэффициентов с использованием соответствующих моделей
материальных тел.
Теплопроводность Самодиффузия
dx
dn
DJ
n
−= (11.10)
- уравнение Фика.
J
n
– поток концентрации
«меченых» атомов,
dx
dn
- градиент их
концентрации,
D – коэффициент
самодиффузии.
[J
n
]=(c·м
2
)
-1
dx
du
J
p
η
−= (11.11)
- уравнение Максвелла.
J
p
– поток импульса,
dx
du
- градиент скорости
упорядоченного
движения молекул,
η
- коэффициент
вязкости.
[J
p
]=Н/м
2
Если на систему, находящуюся в состоянии термодинамического равновесия,
воздействуют внешние факторы, стремящиеся вывести ее из этого состояния,
то в системе возникают процессы, стремящиеся уничтожить изменения,
вызываемые внешними воздействиями.
Внутреннее трение
dx
dT
J
Q
χ
−=
(11.9)
- уравнение Фурье.
J
Q
– поток тепла,
dx
dT
- градиент
температуры,
χ
- коэффициент
теплопроводности;
[J
Q
]=Вт/м
2
72
Нашей главной задачей является
получение связи между макроскопическими
коэффициентами переноса и микроскопическими параметрами для идеального газа.
Решение поставленной задачи будет базироваться на выводе обобщенного уравнения
переноса. Используемый для этой цели метод средней длины свободного пробега является
оценочным. Главное достоинство такого подхода состоит в простоте и акценте на
физической сущности явления. Ожидаемые результаты могут отличаться от точных в
числовых коэффициентах. Точные решения получаются из кинетического уравнения
Больцмана.
11.3
Вывод обобщенного уравнения переноса
методом средней длины свободного пробега
Описание системы
П
остановка задачи
Получить обобщенное уравнение переноса на основе
микроскопических представлений
Рассматриваемая система – идеальный газ в слабо неравновесном состоянии. G
характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле газа
(энергия, импульс, концентрация, электрический заряд). G – функция координаты,
медленно изменяется вдоль одного направления, например G(x), но не зависит от
времени.
Актуальные свойства модели системы
Если в равновесном состоянии G=const, то при наличии градиента G будет
происходить движение или перенос G в направлении его уменьшения. Переносчиками
G являются встречные молекулярные потоки. Плотность этих потоков описывается
известным уравнением
vnJ
0
4
1
= .
Поскольку не известно как меняется молекулярное свойство G в пространстве,
воспользуемся его разложением в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки. В
качестве малого параметра рассматривается величина x
≤λ. Это неравенство и
п
р
иводит к неоп
р
еделенности числового множителя в коэ
фф
ициенте пе
р
еноса.
