ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Основные формулы элементарной комбинаторики
Число способов размещения m различных предметов по n
местам:
.
)!(
!
),(
1
mn
n
mnnГ
−
=− (1.3)
Число способов размещения n различных предметов по n
местам (число перестановок):
Г
2
=n! (1.4)
Число способов размещения m неразличимых предметов по n
местам:
)!(!
!
),(
3
mnm
n
mnГ
−
= . (1.5)
Число способов, которыми можно выбрать m различных
предметов из n различных предметов, называется числом
сочетаний и определяется выражением
.
)!(!
!
),(
mnm
n
mnС
−
=
(1.6)
Непрерывное распределение вероятности. Плотность
вероятности. Условие нормировки вероятности
Если состояние физической системы характеризуется
параметром
ϕ
, случайно принимающим любые значения от
ϕ
0
до
ϕ
1
, то определение вероятности (1.1) лишено смысла,
поскольку множество значений параметра не является счетным.
В этом случае вероятность определяется в дифференциальной
форме:
,)()(
ϕ
ϕ
ϕ
dfdP =
(1.7)
Утверждается, что dP(
ϕ
) пропорциональна величине
достаточно малого интервала изменений переменной d
ϕ
, а
коэффициент пропорциональности f(
ϕ
) не зависит от величины
этого интервала и называется плотностью вероятности [1,5]:
5
,
)(
)(
ϕ
ϕ
ϕ
d
dP
f = (1.8)
Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность
для любой области, в которой определена плотность.
Рис.1
На рис.1 представлен пример графического изображения
плотности вероятности. Площадь заштрихованной полоски на
рисунке равна вероятности dP(
ϕ
) нахождения величины
ϕ
в
интервале [
ϕ
;
ϕ+
d
ϕ
]. Площадь под всей кривой f(
ϕ
) есть
вероятность нахождения величины
ϕ
в интервале [
ϕ
0
;
ϕ
1
],
которая всегда постоянна, равна 1 или 100% и определяет
условие нормировки плотности вероятности.
.1)()(
1
0
1
0
==
∫∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
dfdP (1.9)
Часто условие нормировки записывают для интервала
значений
ϕ
[0, ∞) или (-∞, +∞), полагая, что за пределами
конечного интервала [
ϕ
0
,
,
ϕ
1
] плотность вероятности равна нулю.
Условие нормировки вероятности дискретно изменяющейся
переменной
ϕ
, которая может принимать n различных значений
ϕ
i
с соответствующей вероятностью P
i
, записывается так:
.1
1
=
∑
=
n
i
i
P (1.10)
Выражения (1.9) и (1.10) являются следствием теоремы
сложения вероятностей для несовместных событий [1,4].
6
