ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Условие нормировки есть математическая запись
утверждения, что если физическая система существует, то она
находится в каком-либо из доступных ей состояний,
характеризующихся параметром
ϕ
. Это событие является
достоверным и его вероятность равна единице.
З а д а ч и
1.1. В сосуде находятся 5 молекул газа. Мысленно разобьем
сосуд на две равные части. Каждая из молекул может находиться
в выделенной половине объема или не находиться в ней.
Рассмотреть "макроскопическое" состояние, когда m молекул
газа находятся в выделенной половине сосуда, и найти число
микроскопических состояний Г
m
, с помощью которых оно
реализуется. Принять m равным 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определить
также общее число микросостояний Г
0
и частоту реализации
всех рассмотренных «макросостояний». Термин
«макроскопическое состояние» здесь использован условно,
поскольку в системе всего 5 частиц, и она, строго говоря, не
является статистической. По этой же причине вместо
«вероятность» употребляется термин «частота».
1.2. В системе из n частиц со спином 1/2 в отсутствии
внешнего магнитного поля спин каждой частицы может
быть
равновероятно ориентирован либо вверх, либо вниз.
а) Найти вероятность P
n
(m) реализации состояния, когда m
спинов направлены вверх.
б) Построить гистограмму зависимости P(m) для n=6. Как
будет изменяться вид распределения P(m) при увеличении чисел
n и m? Чему равно наивероятнейшее значение m?
1.3. Состояние системы характеризуется случайной
величиной x с известным распределением вероятности:
а)
];,[, baxAdxdP
∈
=
б)
];1,0[,
∈
= xAxdxdP
в) ];1,1[,
2
−∈= xdxAxdP г) ].4,2[,
1
∈= xdx
x
AdP
7
Найти нормировочную константу А для каждого случая.
Построить соответствующие графики плотности вероятности.
1.4. Проверить выполнение условия нормировки вероятности
в задаче 1.1.
1.5. Представим себе тонкую медную проволоку, натянутую
вдоль оси Х. Несколько атомов меди, расположенных вблизи
х=0, сделали "мечеными" (радиоактивными). При увеличении
температуры нити подвижность атомов возрастает. При этом
каждый атом
может перескочить на соседнее место в
кристаллической решетке либо направо, либо налево. Параметр
решетки равен l.
Предположим, что в момент времени t=0 температура нити
быстро возрастает до некоторого большого значения и в
дальнейшем остается неизменной, т.е. до момента t=0 атомы "не
прыгали", а покоились в узлах решетки, в том
числе и "меченые"
атомы в окрестности x=0.
Вероятность того, что радиоактивный атом будет обнаружен
по истечении времени t при условии, что t>>
τ
(
τ
- время
нахождения атома в узлах решетки), в интервале [x, x+dx]
определяется плотностью вероятности f(x), dP(x) = f(x)dx.
Изобразить на графике примерный ход плотности вероятности в
зависимости от x, исходя из соображений симметрии и условия
нормировки, для следующих трех случаев:
а) вскоре после t=0,
б) по прошествии относительно большого времени t,
в) по прошествии
очень большого времени t.
О т в е т ы
1.1. Г
m
=1; 5; 10; 10; 5; 1. Г
0
= 32. .
32
1
;
32
5
;
32
10
;
32
10
;
32
5
;
32
1
=
m
P
1.2. а) P
n
(m)= ;
2
1
)!(!
!
n
mnm
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
