Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

83
Задача численного интегрирования состоит в нахождении
приближенного значения интеграла (7.1) по заданным или
вычисленным значениям.
Общий подход к решению задачи будет следующим.
Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную
кривой f(x), осью х и переменными х=а
и х=b. Необходимо вычислить
интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов,
находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.
В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы
существуют различные методы численного интегрирования (методы
прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др.).
7.1. Метод прямоугольников
Простейшим методом численного интегрирования является
метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену
определенного интеграла интегральной суммой:
i
n
i
i
b
a
xfdxxf ∆⋅ξ≈
∑
∫
=1
)()(; ξ
i
∈[x
i –1
, x
i
].
(7.3)
Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей.
Обозначим ∆х
i
= h шаг разбиения. Формула прямоугольника
применяется к каждому отрезку. В качестве точек ξ
i
выбираются левые
(ξ
i
=х
i-1
) или правые (ξ
i
=х
i
) границы элементарных отрезков (см. рис.7.1).
Соответственно, для этих двух случаев можно записать формулы
метода прямоугольников:
)(...)()()(
11201 −
⋅++⋅+⋅=
∫
nn
b
a
xfhxfhxfhdxxf ;
(7.4)
)(...)()()(
2211 nn
b
a
xfhxfhxfhdxxf ⋅++⋅+⋅=
∫
.
(7.5)
Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий
значения функции в средних точках элементарных отрезков: точка
i
x .
Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой
прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям
функции f(x) в середине оснований
)(xf
i
(см. рис. 7.2).
Получим формулу

Страницы