Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 4 стр.

     1 Основные теоретические сведения

     Глава 1 Комплексные числа

     §1 Комплексные числа. Действия над комплексными числами в
алгебраической форме

       В     школе    рассматривают   следующие     числовые    множества:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Во множестве действительных чисел не всегда выполнима
операция извлечения квадратного корня (например, нельзя извлечь квадратный
корень из отрицательного числа). Расширим множество R до такого множества,
в котором существует значение квадратного корня из любого отрицательного
числа. Для этого введем понятие комплексного числа.
       Определение. Комплексным числом z называется число вида z = a + bi ,
где a, b ∈ R, i называется мнимая единица, определяемая равенством i 2 = −1
или i = − 1.
       Определение. Число          a   называется действительной частью
комплексного числа z и обозначается a = Rе z ; число b называется мнимой
частью z и обозначается b = Im z.
Если a = 0 , то число z = bi называется чисто мнимым, если b = 0 , то
z = a – действительное число, поэтому множество R является подмножеством
множества всех комплексных чисел С , то есть R ⊂ C .
       Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны
их действительные и мнимые части соответственно.
       Определение. Число z = a − bi , отличающееся от числа z = a + bi только
знаком при мнимой части, называется сопряженным комплексному числу z .
       Геометрически каждое комплексное число z = x + yi изображается
точкой ( x; y ) координатой плоскости ( xOy ) .
И наоборот.
       Определение. Координатная плоскость,
точки которой изображают комплексные числа,
называется       комплексной     плоскостью      и
обозначается C .
       Пример 1. Изобразить на комплексной
плоскости следующие комплексные числа:
       z1 = 2 + 3i → A(2;3)
       z 2 = −3 + i → B(− 3;1)
       z3 = 4 → C (4;0)
                                                          Рисунок 1
      z 4 = −3i → D(0;−3)
      См. рисунок 1.



6