Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

7
Так как на оси Ох откладываются действительные части комплексных
чисел, поэтому ось Ох называется действительной осью, а на оси Оу – мнимые
части, поэтому ось Оу называется мнимой осью.
Замечание. Комплексные числа можно изображать и с помощью радиус–
векторов, а именно: число yi
x
z
+
= изображается вектором OM , имеющим
начало в точке
()
0,0O и конец в точке
(
)
yxM ,.
Определение. Запись числа
z в виде biaz +
=
называется
алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Арифметические действия над комплексными числами ibaz
111
+
= и
ibaz
222
+= , определяются следующими равенствами:
1)
()( )()
(
)
ibbaaibaiba
21212211
+
+
+
=+++ ; (1.1)
2)
()( )()
(
)
ibbaaibaiba
21212211
−
+
−
=+−+ ; (1.2)
3)
()( )( )
(
)
iabbabbaaibaiba
212121212211
+
+
−
=+⋅+ ; (1.3)
4)
).0(,
2
2
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
22
11
≠
+
−
+
+
+
=
+
+
zi
ba
baab
ba
bbaa
iba
iba
(1.4)
Равенство (1.3) можно получить путем умножения по правилам алгебры
и замены 1
2
−=i . Чтобы получить равенство (1.4) нужно предварительно
умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю,
т.е. .
22
iba − (Сделать самостоятельно).
Пример 2. Произвести следующие действия над комплексными числами:
1)
()( )()
(
)
iiii 5232533523
+
−
=
+
+
−=+−++ ;
2)
()( )
iiii
−
=
−
+
−
−=+−−+ 8)32())5(3(3523;
3)
()( )
iiiiii −−=+−+−=+−⋅+ 216109153523
2
;
4)
(
)( )
()()
() ()
.
34
19
34
9
34
199
35
610915
3535
3523
35
23
22
i
i
i
ii
ii
ii
i
i
−−=
−
−
=
−−
+
−
−
−
=
−−+−
−−+
=
+−
+
5) Рассмотрим операцию извлечения квадратного корня из
комплексного числа в алгебраической форме.
Обозначим
yixbia +=+ . Найдем
x
и y по формулам:
.
2
;
2
22
x
b
y
baa
x
=
++
±=
       Так как на оси Ох откладываются действительные части комплексных
чисел, поэтому ось Ох называется действительной осью, а на оси Оу – мнимые
части, поэтому ось Оу называется мнимой осью.
       Замечание. Комплексные числа можно изображать и с помощью радиус–
векторов, а именно: число z = x + yi изображается вектором OM , имеющим
начало в точке O(0,0) и конец в точке M ( x, y ) .
       Определение. Запись числа z в виде z = a + bi называется
алгебраической формой комплексного числа.

         Действия над комплексными числами в алгебраической форме
        Арифметические действия над комплексными числами z1 = a1 + b1i и
z 2 = a2 + b2i , определяются следующими равенствами:

      1) (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 ) i ;                      (1.1)

      2) (a1 + b1i ) − (a 2 + b2 i ) = (a1 − a 2 ) + (b1 − b2 ) i ;                      (1.2)

      3) (a1 + b1i ) ⋅ (a 2 + b2 i ) = (a1a 2 − b1b2 ) + (a1b2 + b1a 2 ) i ;             (1.3)

           a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2
      4)            =           +           i, ( z 2 ≠ 0).                               (1.4)
           a2 + b2i   a22 + b22   a22 + b22

        Равенство (1.3) можно получить путем умножения по правилам алгебры
и замены i 2 = −1 . Чтобы получить равенство (1.4) нужно предварительно
умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю,
т.е. a2 − b2i. (Сделать самостоятельно).
        Пример 2. Произвести следующие действия над комплексными числами:
        1) (3 + 2i ) + (− 5 + 3i ) = (3 − 5) + (2 + 3)i = −2 + 5i ;
        2) (3 + 2i ) − (− 5 + 3i ) = (3 − (−5)) + (2 − 3)i = 8 − i ;
      3) (3 + 2i ) ⋅ (− 5 + 3i ) = −15 + 9i − 10i + 6i 2 = −21 − i ;
      4)
          3 + 2i
                    =
                        (3 + 2i )(− 5 − 3i ) = − 15 − 9i − 10i + 6 = − 9 − 19i = − 9 − 19 i.
         − 5 + 3i (− 5 + 3i )(− 5 − 3i )         (− 5)2 − (3i )2        34        34 34

      5) Рассмотрим операцию извлечения квадратного                              корня      из
комплексного числа в алгебраической форме.
      Обозначим a + bi = x + yi . Найдем x и y по формулам:
               a + a2 + b2
      x=±                  ;
                   2
            b
       y=      .
            2x
                                                                                               7

Страницы