Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 7 стр.

       Выясним геометрический смысл модуля и аргумента комплексного
числа z = a + bi . Как уже отмечалось (§1), комплексному числу z = a + bi
соответствует радиус–вектор OM . Учитывая формулу (1.5) и рисунок 2
получаем, что z представляет собой длину радиус–вектора OM .




                                         Рисунок 2

      Используя формулу (1.2.2) и рисунок 2 получаем, что аргумент
числа z - это угол ϕ , образованный радиус–вектором OM и положительным
направлением оси Ox , отсчитанный против часовой стрелки. В качестве
аргумента комплексного числа можно рассматривать и отрицательное значение
угла при противоположном направлении отсчета. За аргумент выбирают то
значение ϕ , которое меньше по модулю.
      С помощью модуля и аргумента комплексное число z = a + bi можно
представить в другой форме.
      Из (1.2.2) следует, что a = r ⋅ cos ϕ и b = r ⋅ sin ϕ , тогда

       z = a + bi = r ⋅ cos ϕ + r ⋅ sin ϕ ⋅ i ⇒

      z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) - тригонометрическая форма комплексного числа.

      Запишем число 0 в тригонометрической форме:

      0 = 0(сosϕ + i sin ϕ ) .

      Любое число, отличное от нуля, тоже можно представить                     в
тригонометрической форме.
      Пример 4. Представить число z = 1 + i в тригонометрической форме.
      У нас а = 1, b = 1, тогда

      r = a 2 + b 2 = 12 + 12 = 2.
                 a    1 
        cos ϕ = =
                 r     2⇒ϕ = π
                 b    1          4
        sin ϕ = =       
                 r     2
                        π          π
      z = 1 + i = 2  cos + i ⋅ sin .
                        4          4

                                                                                9