Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 6 стр.

      Пример 3. Извлечь квадратный корень из комплексного числа − 5 − 12i .
       − 5 − 12i = x + yi
      a = −5, b = −12
              − 5 + 25 + 144
      x=±                      = ± 4 = ±2,
                     2
                      b     − 12
      x1 = 2 ⇒ y1 =       =      = −3 ⇒ x1 + y1i = 2 − 3i;
                     2 x1    4
                          b    − 12
      x 2 = −2 ⇒ y 2 =      =       = 3 ⇒ x2 + y2i = −2 + 3i.
                        2 x2 − 4
Таким образом,     − 5 − 12i = ±(2 − 3i ).

    §2 Модуль и аргумент комплексного числа.                        Действия    над
комплексными числами в тригонометрической форме

      Рассмотрим комплексное число z = a + b i .
      Определение.    Модулем    комплексного    числа z называется
арифметическое значение квадратного корня из суммы квадратов
действительной и мнимой части.
      Обозначается:

      r = z = a2 + b2 .                                                        (1.5)

      Определение. Аргументом                комплексного   числа   z   называется
действительное число ϕ такое, что

                a          b
      cos ϕ =     , sin ϕ = .                                                  (1.6)
                r          r

       Обозначается: ϕ = arg z .
       Выясним вопрос о том, для любого ли комплексного числа можно найти
модуль и аргумент и сколькими способами.
Если z = 0 = 0 + 0 ⋅ i ⇒ z = 0 = 0.
       Если z ≠ 0 , то z определяется единственным образом и представляет
собой положительное действительное число. Если z = 0 , то r = 0 и формулы
(1.6) для аргумента ϕ теряют смысл, поэтому для числа z = 0 аргумент не
определен. Для числа z ≠ 0 аргумент всегда существует и имеет бесчисленное
множество значений в силу периодичности функций cos ϕ и sin ϕ , и значения
аргумента отличаются на число, кратное 2π , т.е. в дальнейшем обозначение
ϕ = arg z будем называть главным значением аргумента, а для всех остальных
значений аргумента z получим равенство: Arg z = arg z + 2πk , k ∈ Z .
8