Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 41 стр.

    2 Методические указания к выполнению контрольной
работы

                                 Задание 1
      1.1 Используя тригонометрическую                           форму         комплексного   числа,
                                   − 3i
произвести указанные действия: 3          .
                                 2 + 2 3i

                                   Решение
        Представим числа z1 = −3i и z 2 = 2 + 2 3i в тригонометрической форме.
a1 = 0, b1 = −3,                                a = 2, b = 2 3 ,
                                                             2         2
         a12   + b12   = 0 + (− 3) = 3,
                           2        2
r1 =
                                                           r2 = 2 2 + 2 3  (      )2 = 4,
               a1 0       
cos ϕ1 =         = =0                                               2 1        
               r1 3               3π                      cos ϕ 2 =    =       
                           ⇒ ϕ1 =    .                              4 2                 π
          b1 − 3                    2                                             ⇒ ϕ2 = .
sin ϕ1 =     =       = −1                                           2 3      3         3
          r1    3                                        sin ϕ 2 =       =
                                                                       4     2 
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )                                           π        π
                                                           z 2 = 4 cos + i sin .
           3π         3π                                              3        3
z1 = 3 cos    + i sin         .
            2          2      
                    z
Найдем частное 1 .
                    z2

           3π          3π 
     3 cos     + i sin    
z1          2           2  3   3π π           3π π   3     7π         7π                  
   =                         =  cos −  + i sin    −   =  cos    + i sin                     .
z2          π          π    4  2 3            2 3  4        6          6                  
      4 cos + i sin 
             3         3
        Далее, применяя формулу

                                    ϕ + 2πk         ϕ + 2πk 
n   r (cos ϕ + i sin ϕ ) = n r  cos         + i sin         , где k = 0,1, 2, ..., n − 1,
                                       n               n    

получим

                                                      7π              7π       
                                                         + 2πk           + 2πk 
      − 3i      3     7π         7π  3         3
3            = 3  cos    + i sin    =             cos 6       + i sin 6       .
    2 + 2 3i    4      6          6            4       3               3     
                                                                               
                                                                               

                                                                                                  43