Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

44
Полагая
2,1,0=k
, получим три различных значения искомого корня:
;
18
19
sin
18
19
cos
4
3
:1
;
18
7
sin
18
7
cos
4
3
:0
3
1
3
0
+==
+==
ππ
ππ
izk
izk
.
18
31
sin
18
31
cos
4
3
:2
3
2
+==
ππ
izk
1.2
Решить уравнение:
(
)
.07121
2
=+++− ixix
Решение
()
()()
.
2
24721
24728444171421
.71,21,1
2,1
2
2
ii
x
iiiiiiD
iciba
−−±+
=
−−=−−++=+−+=
+
=
+−==
Извлечем квадратный корень из комплексного числа
i247 −−
по
формулам:
.
2
,
2
;
22
x
b
y
baa
xyixbia =
+±
±=+=+
У нас
.24,7 −=−= ba
() ( )
.43,4
6
24
2
;3
;43,4
6
24
2
;3
;3
2
2477
22
2
22
11
1
11
22
iiyx
x
b
yx
iiyx
x
b
yx
x
+−=+=
−
−
==−=
−=+−=
−
===
±=
−+−+−
±=
Итак,
(
)
,43247 ii −±=−−
тогда
()
()
.31
2
4321
;2
2
4321
,
2
4321
21
2,1
i
ii
xi
ii
x
ii
x
+−=
−−+
=−=
−++
=
−±+
=
Можно сделать проверку по теореме Виета:
a
c
xxи
a
b
xx =⋅−=+
2121
(самостоятельно).
Ответ:
.31,2
21
ixix
+
−
=−=
          Полагая k = 0,1, 2 , получим три различных значения искомого корня:

                            3     7π         7π   
           k = 0 : z0 = 3     cos    + i sin      ;
                            4     18         18   
                          3     19π          19π 
           k = 1 : z1 = 3   cos      + i sin     ;
                          4      18           18 
                           3     31π          31π 
           k = 2 : z 2 = 3  cos       + i sin     .
                           4      18           18 

          1.2 Решить уравнение: x 2 − (1 + 2i ) x + 1 + 7i = 0.

                                             Решение
a = 1, b = −(1 + 2i ), c = 1 + 7i.
D = (1 + 2i )2 − 4(1 + 7i ) = 1 + 4i + 4i 2 − 4 − 28i = −7 − 24i
     1 + 2i ± − 7 − 24i
x1, 2 =                 .
              2
      Извлечем квадратный корень из комплексного числа − 7 − 24i по
формулам:
                               a ± a2 + b2     b
     a + bi = x + yi; x = ±                , y= .
                                   2           2x
У нас a = −7, b = −24.
           −7+     (− 7 )2 + (− 24 )2
x=±                             = ±3;
                   2
              b     − 24
x1 = 3; y1 =      =      = −4, x1 + y1i = 3 − 4i;
             2 x1    6
                    b     − 24
x 2 = −3; y 2 =         =      = 4, x 2 + y 2 i = −3 + 4i.
                   2 x2   −6
Итак,     − 7 − 24i = ± (3 − 4i ), тогда
        1 + 2i ± (3 − 4i )
x1, 2 =                    ,
                2
       1 + 2i + 3 − 4i                1 + 2i − (3 − 4i )
x1 =                   = 2 − i; x 2 =                    = −1 + 3i.
              2                               2

        Можно сделать проверку по теореме Виета:
            b             c
x1 + x 2 = − и x1 ⋅ x 2 =   (самостоятельно).
            a             a
                                                               Ответ: x1 = 2 − i, x 2 = −1 + 3i.

44

Страницы