Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

47
−=+−
=+−
=−+
12
12
832
zyx
zyx
zyx
Решение
Исследуем систему на совместность по теореме Кронекера-Капелли.
Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований над строками:
(
)
(
)
12
1
8
1
211
132
121
1
1
8
211
121
132
*
−
⋅
−
⋅
−−
−
−
−−
−
−
=
A
()
7
6
2
1
370
110
121
2
6
1
110
370
121
−⋅
−
−
−
−
−
−
() ( )
()
.3
,3
.
20
2
1
1000
110
121
*
=
=
−
−
−
Ar
строкненулевыхчислуAr
Так как
()
(
)
3
*
== ArAr
, следовательно, система совместна. Количество
неизвестных
r
n == 3
, следовательно, система определенна, то есть имеет
единственное решение.
а) метод Гаусса
В процессе исследования системы на совместность мы привели
расширенную матрицу
*
A
к ступенчатому виду. Этой матрице будет
соответствовать система уравнений ступенчатого вида, равносильная исходной,
а именно:
=−
−=+
=+−
2010
2
12
z
zy
zyx
.
Из последнего уравнения
2
−
=
z
; подставив это значение во второе
уравнение, находим
0=y
; подставляя найденные значения в первое уравнение,
получим
3=
x
.
Итак, решение системы имеет вид:
−=
=
=
2
0
3
z
y
x
. 
        2 x + 3 y − z = 8
        
        x − 2 y + z = 1
         x − y + 2 z = −1
        

                                    Решение
        Исследуем систему на совместность по теореме Кронекера-Капелли.
        Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований над строками:
      2 3 −1         8        1 − 2 1        1  ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 1)
  *                                              
A = 1 − 2 1          1         2  3   − 1    8   
      1 −1 2        − 1                    − 1
                               1 −1 2
    1 − 2 1         1       1 − 2 1        1 
                                              
    0 7 − 3         6       0 1      1    − 2  ⋅ (− 7 )
    0 1      1     − 2     0 7 − 3        6 
                             
    1 − 2     1      1 
                          
    0 1       1     − 2 .
     0 0 − 10        20 
    
 r ( A) = 3 (числу ненулевых строк ),
  ( )
 r A* = 3.
                             ( )
      Так как r ( A) = r A* = 3 , следовательно, система совместна. Количество
неизвестных n = 3 = r , следовательно, система определенна, то есть имеет
единственное решение.

        а) метод Гаусса
        В процессе исследования системы на совместность мы привели
расширенную матрицу A* к ступенчатому виду. Этой матрице будет
соответствовать система уравнений ступенчатого вида, равносильная исходной,
а именно:
 x − 2 y + z =1

       y + z = − 2.
      − 10 z = 20

        Из последнего уравнения z = −2 ; подставив это значение во второе
уравнение, находим y = 0 ; подставляя найденные значения в первое уравнение,
получим x = 3 .
                                         x = 3
                                         
        Итак, решение системы имеет вид:  y = 0 .
                                          z = −2
                                         

                                                                            47

Страницы