Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 46 стр.

        б) по формулам Крамера
                                                      ∆j
        Запишем формулы Крамера: x j =      , j = 1,2, ..., n , где ∆ - главный
                                          ∆
определитель системы, ∆ j - побочный определитель системы, получающий из
определителя ∆ заменой j - столбца на столбец свободных членов системы.
      Найдем главный определитель системы ∆ , который состоит из
коэффициентов при неизвестных. Вычислим его по правилу треугольников.
    2 3 −1
∆ = 1 − 2 1 = 2 ⋅ (− 2 ) ⋅ 2 + 1 ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 − (− 1) ⋅ (− 2 ) ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ (− 1) −
    1 −1 2
− 1 ⋅ 3 ⋅ 2 = −10.
            Так как ∆ ≠ 0 , то решение системы может быть найдено по формулам
Крамера. Запишем и вычислим побочные определители системы:
          8    3 −1 ⋅ 2 8 3 −1
∆1 = 1 − 2 1                 = 9 1 0 =
      −1 −1 2                  15 5 0
(разложим ∆1 по элементам третьего столбца)
                       9 1        9 1
= (− 1) ⋅ (− 1)1+ 3 ⋅      = −5 ⋅     = −5 ⋅ (9 − 3) = −30
                      15 5        3 1
(определитель вычислен по свойствам 8, 4 §2 гл.2 и теореме 2.2.1).
      2 8 −1 2 6 − 3
                                                      6 −3
∆2 = 1 1            1 =1 0        0 = 1 ⋅ (− 1)2 +1 ⋅      =0
                                                      −2 1
      1 −1 2 1 − 2 1
   ⋅ (− 1)
(определитель второго порядка имеет две пропорциональные строки).
        2 3   8   2 5 10
                                         5 10       1 2
∆ 3 = 1 − 2 1 = 1 − 1 2 = 1 ⋅ (− 1)3+1 ⋅       = 5⋅      = 5 ⋅ (2 + 2 ) = 20.
                                         −1 2       −1 2
        1 −1 −1 1 0 0

        Получим решение системы:

      ∆1 − 30
  x =    =      =3
       ∆ − 10

      ∆2     0
y =      =      =0 .
       ∆   − 10
      ∆3   20
 z = ∆ = − 10 = −2

48