Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 47 стр.

       в) с помощью обратной матрицы
       Рассмотрим основную матрицу A из коэффициентов при неизвестных
системы, матрицу X из неизвестных и матрицу B из свободных членов:
     2 3 − 1         x      8
                             
A =  1 − 2 1 , X =  y , B =  1 .
    1 −1 2          z        − 1
                             
          Запишем систему в матричном виде: A ⋅ X = B ⇒ X = A −1 ⋅ B.
        Найдем матрицу A −1 , обратную к матрице A , по формуле
                   A11 A21 A31 
          1                     
A −1 =          ⋅  A12 A22 A32 , где Aij - алгебраическое дополнение элемента
       det A                    
                   A13 A23 A33 
aij матрицы A .
        Так как det A = ∆ = −10 ≠ 0 , то матрица A - невырожденная и для нее
существует A −1 .
        Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле:
Aij = (− 1)i + j ⋅ M ij . Имеем:
                    −2 1                         3 −1                        3 −1
A11 = (− 1)1+1 ⋅         = −3, A21 = (− 1)2 +1 ⋅      = −5, A31 = (− 1)3+1 ⋅      = 1,
                    −1 2                         −1 2                        −2 1
                    1 1                              2 −1                               2 −1
A12 = (− 1)1+ 2 ⋅         = −1, A22 = (− 1)2 + 2 ⋅           = 5,   A32 = (− 1)3+ 2 ⋅           = −3,
                    1 2                              1   2                              1   1
                    1 −2                             2   3                              2   3
A13 = (− 1)1+ 3 ⋅          = 1, A23 = (− 1)2 + 3 ⋅           = 5,   A33 = (− 1)3+ 3 ⋅           = −7.
              1 −1                    1 −1                                              1 −2
        Тогда обратная матрица имеет вид:
                   − 3 − 5 1 
         −1     1              
        A = − ⋅  − 1 5 − 3 .
               10 
                    1   5 − 7 
        Можно сделать проверку: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E (самостоятельно).
        Находим решение данной системы уравнений:
             x                         − 3 − 5 1   8 
                      −1            1                      
        X =  y  = A ⋅ B = − ⋅  −1 5 − 3 ⋅  1  =
            z                     10 
                                        1         5 − 7   − 1
                 − 3 ⋅ 8 + (− 5) ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 1)           − 30   3   x = 3
            1                                         1             
        = − ⋅  − 1 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 + (− 3) ⋅ (− 1)  = − ⋅  0  =  0  ⇒  y = 0
           10                                        10             
                   1 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 + (− 7 ) ⋅ (− 1)          20   − 2   z = −2.
                                         Ответ: (3;0;−2).


                                                                                                        49