Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

51
=
−=
=
⇒
=
=+−
=+
1
2
4
1
3
2
z
y
x
z
zy
yx
.
Подставим
zy
x
,,
в равенство
(
)
*
, получим:
{}
1;2;424 −=⇒+−= dcbad
в базисе
{
}
cba ,,
.
Ответ:
{
}
.1;2;4 −=d
Задание 6
Коллинеарны ли векторы
1
c
и
2
c
, построенные по векторам
a
и
b
,
если
{}{}
.53,52,4;3;1,5;0;2
21
abcbacba −=−=−=−=
Решение
Найдем координаты векторов
1
c
и
2
c
, используя свойства координат
векторов (см. §3 гл.3).
{}{}
{
}
{
}{ }
30;15;120;15;510;0;44;3;155;0;2252
1
−−=−−+−=−⋅−−⋅=−= bac
.
{}{ }
{
}
{
}
{
}
.37;9;725;0;1012;9;35;0;254;3;1353
2
−−=−+−=−⋅−−⋅=−= abc
То есть
{
}
30;15;1
1
−
−
=c
и
{
}
.37;9;7
2
−
−
=
c
Далее воспользуемся условием коллинеарности векторов в
координатной форме, а именно: если координаты векторов пропорциональны,
то векторы коллинеарны.
Так как
37
30
9
15
7
1
−
≠
−
≠
−
−
или
37
30
3
5
7
1
−≠−≠
, то координаты
непропорциональны, следовательно, векторы
1
c
и
2
c
неколлинеарны.
Ответ:
21
cc
Задание 7
Найти косинус угла между векторами
A
B и
A
C
, если
()
,6;4;2 −−A
()( )
.10;8;6,4;2;0 −−− CB
Решение
Косинус угла
ϕ
между векторами
A
B и
A
C
вычисляется по формуле:
()
,,coscos
ACAB
ACAB
ACAB
⋅
⋅
==
ϕ
где
A
C
B ⋅
- скалярное произведение векторов и
ACAB ,
- длины векторов
A
B
и
A
C
.
Найдем координаты векторов
A
B и
A
C
:
() (){}
{
}
() (){}{}
.4;4;4610;48;26
,2;2;264;42;20
−−=−−−−−−−=
−=−−−−−−=
AC
AB
x + y = 2 x = 4
               
 − y + z = 3 ⇒  y = −2 .
      z =1     z = 1
               
       Подставим x, y, z в равенство (*) , получим:
                                             {
d = 4a − 2b + c ⇒ d = {4;−2;1} в базисе a, b, c .      }
                               Ответ: d = {4;−2;1}.

                                     Задание 6
       Коллинеарны ли векторы c1 и c 2 , построенные по векторам a и b ,
если a = {2;0;−5}, b = {1;−3;4}, c1 = 2a − 5b , c 2 = 3b − 5a .

                                            Решение
        Найдем координаты векторов c1 и c 2 , используя свойства координат
векторов (см. §3 гл.3).
c1 = 2a − 5b = 2 ⋅ {2;0;−5} − 5 ⋅ {1;−3;4} = {4;0;−10} + {− 5;15;−20} = {− 1;15;−30}.
c 2 = 3b − 5a = 3 ⋅ {1;−3;4} − 5 ⋅ {2;0;−5} = {3;−9;12} + {− 10;0;25} = {− 7;−9;37}.
                       То есть c1 = {− 1;15;−30} и c 2 = {− 7;−9;37}.
        Далее воспользуемся условием коллинеарности векторов в
координатной форме, а именно: если координаты векторов пропорциональны,
то векторы коллинеарны.
                        − 1 15 − 30                    1      5     30
        Так как             ≠        ≠          или       ≠ − ≠ − , то координаты
                        −7 −9           37             7      3     37
непропорциональны, следовательно, векторы c1 и c 2 неколлинеарны.
                                                                                Ответ: c1 c 2

                                          Задание 7
       Найти косинус угла между векторами                          AB     и     AC ,    если
A(− 2;4;−6 ), B(0;2;−4 ), C (− 6;8;−10 ).

                                 Решение
       Косинус угла ϕ между векторами AB и AC вычисляется по формуле:

            (
cos ϕ = cos AB, AC = )
                     AB ⋅ AC
                             ,
                     AB ⋅ AC
где AB ⋅ AC - скалярное произведение векторов и AB , AC - длины векторов AB
и AC .
       Найдем координаты векторов AB и AC :
AB = {0 − (− 2 );2 − 4;−4 − (− 6 )} = {2;−2;2},
AC = {− 6 − (− 2 );8 − 4;−10 − (− 6 )} = {− 4;4;−4}.

                                                                                           51

Страницы