Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 51 стр.

          Если            векторы            заданы                своими      координатами
a = {a1 ; a 2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1 , c 2 , c3 }, то условие компланарности
векторов a , b , c имеет вид (см.§7 гл.3):
                                                      a1 a 2 a3
a , b , c - компланарны ⇔ (a , b , c ) = 0 ⇔ b1 b2 b3 = 0.
                                                      c1 c2 c3
(Если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.)

          Вычислим смешанное произведение векторов:
               −3 3 3     6 3 3
(a , b , c ) = − 4 7 6 = 14 7 6 = −1⋅ (− 1)3+3 ⋅ 6 3 = −(42 − 42) = 0,
                                                14 7
                3 0 −1 0 0 −1
                     ⋅3
тогда векторы a , b и c - компланарны.
                                                         Ответ: a , b , c - компланарны.

                                            Задание 10
         Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и его
высоту, опущенную из вершины                         A4 на грань A1 A2 A3 , если
A1 (1;3;0), A2 (4;−1;2 ), A3 (3;0;1), A4 (− 4;3;5).

                                        Решение
        Сделаем чертеж:




        В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного
произведения          векторов        (см. свойство 5      §7 гл.3), имеем:
        1
        6
                      (
                      1
                                        )
Vтет = Vпар − да = A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
                      6
        Найдем координаты векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
A1 A2 = {4 − 1;−1 − 3;2 − 0} = {3;−4;2},
A1 A3 = {3 − 1;0 − 3;1 − 0} = {2;−3;1},
A1 A4 = {− 4 − 1;3 − 3;5 − 0} = {− 5;0;5}.
                                                                                         53