Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

52
Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений
соответствующих координат, то есть
()() ()
.24424242 −=−⋅+⋅−+−⋅=⋅ ACAB
Найдем длины векторов как квадратный корень из суммы квадратов их
координат, то есть
() () ()
.3448444;3212222
2
2
2
2
2
2
==−++−===+−+= ACAB
Тогда косинус угла
ϕ
равен
.1
24
24
3432
24
cos −=−=
⋅
−
=
ϕ
Ответ:
.1cos
−
=
ϕ
Задание 8
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
, если
()
.
3
2
,,1,2;2,32
π
===−=+= qpqpqpbqpa
Решение
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного
произведения двух векторов (см. свойство 5 §6 гл.3), а именно: площадь
параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
, равна модулю их
векторного произведения:
[
]
baS
пар
,=
.
Применим свойства 3, 4, 1 §6 гл.3 и вычислим векторное произведение
векторов
a
и
b
.
[
]
[][]
[
]
[
]
[
] [][]
[]
.,70
,3,40,6,3,4,22,32,
qp
qpqpqqpqqpppqpqpba
−=−
−−−=−+−=−+=
Вычислим модуль векторного произведения векторов
a
и
b
, используя
первое условие из определения векторного произведения, а именно:
[]
()
.,sin, bababa ⋅⋅=
Тогда,
[]
[] []
()
.37
2
3
14
3
2
sin127,sin7,7,7,
=
=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅==−==
π
qpqpqpqpbaS
пар
Ответ:
(
)
...37 едквS
пар
=
Задание 9
Компланарны ли векторы
{
}
{
}
6;7;4,3;3;3 −=−= ba
и
{}
1;0;3 −c
?
Решение 
       Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений
соответствующих координат, то есть
AB ⋅ AC = 2 ⋅ (− 4 ) + (− 2 ) ⋅ 4 + 2 ⋅ (− 4 ) = −24.
       Найдем длины векторов как квадратный корень из суммы квадратов их
координат, то есть
 AB = 2 2 + (− 2)2 + 2 2 = 12 = 2 3; AC =                     (− 4)2 + 4 2 + (− 4)2       = 48 = 4 3.
                                    Тогда косинус угла ϕ равен
            − 24     24
cos ϕ =           =−    = −1.
          2 3⋅4 3    24
                                         Ответ: cos ϕ = −1.

                                       Задание 8
        Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и
                                                              2π
b , если a = 2 p + 3q , b = p − 2q ; p = 2, q = 1, ( p, q ) =    .
                                                               3

                                    Решение
      Воспользуемся     геометрическим      смыслом модуля   векторного
произведения двух векторов (см. свойство 5 §6 гл.3), а именно: площадь
параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна модулю их
векторного произведения: S пар = [a , b ] .
           Применим свойства 3, 4, 1 §6 гл.3 и вычислим векторное произведение
векторов a и b .
[a , b ] = [2 p + 3q , p − 2q ] = 2[ p, p ] − 4[ p, q ] + 3[q , p ] − 6[q , q ] = 0 − 4[ p, q ] − 3[ p, q ] −
− 0 = −7[ p, q ].
          Вычислим модуль векторного произведения векторов a и b , используя
первое условие из определения векторного произведения, а именно:
 [a , b ] = a ⋅ b ⋅ sin (a , b ).
          Тогда,
                                                                                         2π
S пар = [a , b ] = − 7 [ p, q ] = 7 [ p, q ] = 7 p ⋅ q ⋅ sin ( p, q ) = 7 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ sin
                                                                                                    3
                                                                                            = 14 ⋅    =
                                                                                          3        2
= 7 3.
                                     Ответ: S пар = 7 3 (кв. ед.).

                                 Задание 9
          Компланарны ли векторы a = {− 3;3;3}, b = {− 4;7;6} и c {3;0;−1}?

                                                 Решение


52

Страницы