Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

50
Задание 5
Доказать, что векторы
cba ,,
образуют базис и найти координаты
вектора
d
в этом базисе, если
{
}
{
}
{
}
,1;3;0,0;2;1,1;0;1 =−== cba
{}
.5;7;2=d
Решение
Докажем, что векторы
cba ,,
образуют базис. Вычислим определитель,
составленный из координат этих векторов.
⇒≠=+−=− 0132
130
021
101
векторы
cba ,,
- линейно независимы, значит, они
образуют базис.
Найдем координаты вектора
d
в базисе
{
}
cba ,,
. Разложим вектор
d
по
векторам базиса
{}
cba ,,
, получим:
(
)
*czbyaxd ++=
.
Найдем коэффициенты разложения, то есть
zy
x
,,
, а они, в свою
очередь, будут являться координатами вектора
d
в этом базисе (по
определению).
Для этого разложим все векторы по векторам ортонормированного
базиса
{}
:,, kji
.3,2,,572 kjcjibkiakjid +=−=+=++=
Далее, подставим все разложения в равенство
(
)
*
, имеем:
()
()
(
)
kjzjiykixkji ++−++=++ 32572
или
()()
(
)
.32572 kzxjzyiyxkji +++−++=++
Соберем коэффициенты при векторах
kji ,,
и получим систему трех
уравнений с тремя неизвестными:
=+
=+−
=+
5
732
2
zx
zy
yx
.
Решим систему методом Гаусса.
()
()
.1100
3110
2011
2
7320
3110
2011
3110
7320
20111
5101
7320
2011
*
−
−⋅
−
−
−
−
−⋅
−=
A
Таким образом,
()
(
)
3
*
== ArAr
, следовательно, система совместна и
r
n
=
=
3
,
значит, она имеет единственное решение.
Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений: 
                                 Задание 5
      Доказать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты
вектора d в этом базисе, если a = {1;0;1}, b = {1;−2;0}, c = {0;3;1}, d = {2;7;5}.

                                    Решение
       Докажем, что векторы a , b , c образуют базис. Вычислим определитель,
составленный из координат этих векторов.
 1 0 1
 1 − 2 0 = −2 + 3 = 1 ≠ 0 ⇒ векторы a , b , c - линейно независимы, значит, они
 0 3 1
образуют базис.
         Найдем координаты вектора d в базисе {a , b , c }. Разложим вектор d по
векторам базиса {a , b , c }, получим: d = xa + yb + zc (*) .
         Найдем коэффициенты разложения, то есть x, y, z , а они, в свою
очередь, будут являться координатами вектора d в этом базисе (по
определению).
         Для этого разложим все векторы по векторам ортонормированного
базиса {i , j , k }: d = 2i + 7 j + 5k , a = i + k , b = i − 2 j , c = 3 j + k .
         Далее, подставим все разложения в равенство (*) , имеем:
2i + 7 j + 5k = x(i + k ) + y (i − 2 j ) + z (3 j + k ) или
2i + 7 j + 5k = ( x + y )i + (− 2 y + 3z ) j + ( x + z )k .
        Соберем коэффициенты при векторах i , j , k                и получим систему трех
уравнений с тремя неизвестными:
x + y = 2

− 2 y + 3 z = 7 .
x + z = 5

        Решим систему методом Гаусса.
      1 1 0               2  ⋅ (− 1)  1 1 0              2     1 1 0       2
                                                                              
A* =  0 − 2 3             7          0 − 2 3             7      0 −1 1     3  ⋅ (− 2)
      1 0 1               5          0 −1 1             3    0 − 2 3     7 
                                                                 
    1 1 0             2
                         
     0 −1 1           3
    0 0 1             1  .
    
                             ( )
Таким образом, r ( A) = r A* = 3 , следовательно, система совместна и n = 3 = r ,
значит, она имеет единственное решение.
       Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений:


50

Страницы