Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

54
Найдем смешанное произведение векторов
413121
,, AAAAAA
.
()
.1540302045
505
132
243
,,
413121
−=+−+−=
−
−
−
=AAAAAA
2
5
6
15
15
6
1
==−=
тет
V
(куб. ед.).
С другой стороны,
321
321
3
3
1
44
AAA
тет
AAAтет
S
V
HAHASV
∆
∆
=⇒⋅=
.
Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения
векторов, имеем
[]
.,
2
1
3121
321
AAAAS
AAA
=
∆
Если векторы
a
и
b
заданы своими координатами
{}
{
}
321321
;;,;; bbbbaaaa ==
, то
[]
.;;,
21
21
13
13
32
32
=
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba
Вычисляем координаты векторного произведения:
[]
{}
1;1;2
32
43
;
21
32
;
13
24
,
3121
−=
−
−
−
−
=AAAA
и его модуль:
[]
()
.6112,
2
22
3121
=−++=AAAA
Тогда,
.
2
6
6
2
1
321
=⋅=
∆ AAA
S
Находим высоту
HA
4
:
2
65
6
15
2
6
2
5
3
4
==
⋅
=HA
(ед.)
Ответ:
2
5
=
тет
V
(куб. ед.),
2
65
4
=HA
(ед.). 
Найдем смешанное произведение векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .

                              3        −4 2
( A1 A2 ,   A1 A3 , A1 A4 ) = 2        − 3 1 = −45 + 20 − 30 + 40 = −15.
                              −5       0       5

            1        15 5
Vтет =        − 15 =   = (куб. ед.).
            6         6 2
            С другой стороны,

      1                                                  3Vтет
Vтет = S ∆A1 A2 A3 ⋅ A4 H              ⇒       A4 H =               .
      3                                                 S ∆A1 A2 A3
      Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения
векторов, имеем

S ∆A1 A2 A3 =
               1
               2
                  [
                 A1 A2 , A1 A3 .   ]
            Если    векторы                a       и      b  заданы     своими     координатами
                                                          a a3 a3 a1 a1 a 2 
a = {a1 ; a 2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 }, то [a , b ] =  2       ;       ;       .
                                                          b2   b3   b3 b1   b1 b2 
        Вычисляем координаты векторного произведения:


[A1 A2 , A1 A3 ] =  −− 43   2 2 3 3 − 4
                               ;   ;
                              1 1 2 2 −3
                                          = {2;1;−1}
                   
            и его модуль:

 [A1 A2 , A1 A3 ] =     2 2 + 12 + (− 1)2 = 6.
            Тогда,

              1        6
S ∆A1 A2 A3 =   ⋅ 6=     .
              2       2
            Находим высоту A4 H :

        5
            3⋅
           15 5 6
A4 H = 2 =    =   (ед.)
        6   6   2
       2
                                                                        5                    5 6
                                                        Ответ: Vтет =     (куб. ед.), A4 H =     (ед.).
                                                                        2                     2

54

Страницы