ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Основные понятия и формулы кинематики:
Радиус-вектором
⃗
материальной точки А называется вектор,
проведенный из начала координат в точку А. При движении материальной
точки геометрическое место концов радиус-вектора
⃗
(
)
есть траектория
материальной точки. В трехмерном пространстве
⃗
(
)
определяется тремя
скалярными функциями x(t), y(t), z(t) – координатами точки А:
⃗
(
)
=
(
)
⃗
+
(
)
⃗
+
(
)
⃗
,
(1)
где
, ,
x y z
e e e
орты координатных осей.
В дальнейшем мы будем использовать декартову систему координат (СК).
В ней координаты x(t), y(t) и z(t) равны проекциям радиус-вектора на оси
координат.
Перемещение материальной точки ∆
⃗
представляет собой приращение
радиус-вектора
⃗
за время t = t
2
– t
1
:
∆
⃗
=
⃗
(
)
−
⃗
(
) . (2)
Средняя скорость за время t определяется как:
〈
⃗
()
〉
∆
=
∆
⃗
∆
, (3)
Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t
определяется как:
⃗
(
t
)
= lim
∆→
∆
⃗
∆
=
⃗
(4)
и направлена вдоль вектора
⃗
, т.е. по касательной к траектории.
С учетом соотношения (1) выражение для скорости принимает вид:
⃗
(
)
=
⃗
()
=
()
⃗
+
()
⃗
+
()
⃗
= v
⃗
+ v
⃗
+ v
⃗
, (5)
где величины v
=
()
, v
=
()
иv
=
()
в декартовой СК являются
проекциями вектора скорости на оси X, Y и Z, соответственно.
4
Расстояние dS, проходимое точкой за время dt, определяется как dS = v dt ,
где v – модуль скорости. Длина пути (или просто путь) ∆, пройденного
материальной точкой c момента времени t
1
до момента t
2
выражается через
интеграл от модуля скорости:
∆ =
∫
v()
. (6)
Средняя путевая скорость - это отношение пути S, пройденного точкой,
ко времени t, за которое этот путь был пройден:
〈
v()
〉
∆
=
∆
∆
. (7)
Среднее ускорение за время t определяется выражением
〈
⃗
()
〉
∆
=
∆
⃗
∆
=
⃗
(
)
⃗
(
)
. (8)
Мгновенное линейное ускорение материальной точки в момент времени t
определяется как:
⃗
(
)
= lim
∆→
∆
⃗
∆
=
⃗
(9)
С учетом соотношения (5) выражение для ускорения можно записать в
виде:
⃗
(
)
=
⃗
=
⃗
+
⃗
+
⃗
=
⃗
+
⃗
+
⃗
, (10)
где величины
=
()
,
=
()
и
=
()
в декартовой СК равны
проекциям ускорения на оси X, Y и Z, соответственно.
Так как любая векторная величина может быть представлена через 3 свои
координаты (см. формулы (1), (5) и (10)), то, фактически, движение точки в
трехмерном пространстве может быть представлено как суперпозиция его
движений вдоль трёх координатных осей. Поэтому основное внимание в
данном пособии мы уделим одномерному движению, например, вдоль оси Х.
Основные понятия и формулы кинематики: Расстояние dS, проходимое точкой за время dt, определяется как dS = v dt ,
Радиус-вектором ⃗ материальной точки А называется вектор, где v – модуль скорости. Длина пути (или просто путь) ∆ , пройденного
проведенный из начала координат в точку А. При движении материальной материальной точкой c момента времени t1 до момента t2 выражается через
точки геометрическое место концов радиус-вектора ⃗( ) есть траектория интеграл от модуля скорости:
материальной точки. В трехмерном пространстве ⃗( ) определяется тремя ∆ = ∫ v( ) . (6)
скалярными функциями x(t), y(t), z(t) – координатами точки А:
Средняя путевая скорость - это отношение пути S, пройденного точкой,
⃗( ) = ( ) ⃗ + ( ) ⃗ + ( ) ⃗ , (1)
ко времени t, за которое этот путь был пройден:
где e x ,e y ,e z орты координатных осей. ∆
〈v( )〉∆ = . (7)
∆
В дальнейшем мы будем использовать декартову систему координат (СК).
Среднее ускорение за время t определяется выражением
В ней координаты x(t), y(t) и z(t) равны проекциям радиус-вектора на оси ∆⃗ ⃗( ) ⃗( )
〈 ⃗( )〉∆ = = . (8)
координат. ∆
Мгновенное линейное ускорение материальной точки в момент времени t
Перемещение материальной точки ∆ ⃗ представляет собой приращение
определяется как:
радиус-вектора ⃗ за время t = t2 – t1:
∆⃗ ⃗
∆ ⃗ = ⃗( ) − ⃗( ) . (2) ⃗( ) = lim∆ → ∆ = (9)
Средняя скорость за время t определяется как: С учетом соотношения (5) выражение для ускорения можно записать в
виде:
∆⃗ ⃗
〈 ⃗( )〉∆ = , (3) ⃗( ) = = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ , (10)
∆
Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t ( ) ( ) ( )
где величины = , = и = в декартовой СК равны
определяется как:
проекциям ускорения на оси X, Y и Z, соответственно.
∆⃗ ⃗
⃗(t) = lim∆ → ∆ = (4) Так как любая векторная величина может быть представлена через 3 свои
и направлена вдоль вектора ⃗, т.е. по касательной к траектории. координаты (см. формулы (1), (5) и (10)), то, фактически, движение точки в
С учетом соотношения (1) выражение для скорости принимает вид: трехмерном пространстве может быть представлено как суперпозиция его
⃗( ) =
⃗( )
=
( )
⃗ +
( )
⃗ +
( )
⃗ =v ⃗ +v ⃗ +v ⃗ , (5) движений вдоль трёх координатных осей. Поэтому основное внимание в
данном пособии мы уделим одномерному движению, например, вдоль оси Х.
( ) ( ) ( )
где величины v = , v = иv = в декартовой СК являются
проекциями вектора скорости на оси X, Y и Z, соответственно.
3 4
