Анализ графиков кинематических величин движения материальной точки. Мухамедшин И.Р - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9
провести алгебраическое суммирование соответствующих величин. Например,
для графика на рис. 3 перемещение x за промежуток времени со 2-й по 4-ю
секунды будет равно нулю.
Если x есть интеграл от проекции скорости (см. выражение (12)), то
пройденный путь
( )
S t
, согласно определению (6), есть интеграл от модуля
скорости. То есть для определения пройденного пути площади под графиком
v
x
(t) нужно всегда складывать независимо от знака проекции скорости.
Например, для графика на рис. 3 за первые 3 секунды движения пройденный
путь
S
будет совпадать с проекцией перемещения x и будет равен 3 м, а за
промежуток времени со 2-й по 4-ю секунды пройденный путь будет равен 2 м.
По графику v
x
(t) можно найти среднее значение проекции скорости за
некий промежуток времени. Из определения средней скорости (3) следует, что
〈
v
()
〉
∆
=
∆
∆
, а как показано выше, перемещение x численно равно площади
под графиком v
x
(t). Таким образом, например, для рис. 3 за первые 3 секунды
движения среднее значение проекции скорости равняется 3 м / 3 с=1 м/с.
По графику v
x
(t) можно также определить проекцию ускорения
(
)
. Из
определения ускорения (10) следует, что ускорение есть производная от
скорости по времени, то есть
(
)
= lim
∆→
∆
∆
=


. Геометрический смысл
производной есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.
Следовательно, тангенс угла наклона касательной к графику v
x
(t) численно
равен величине проекции ускорения материальной точки в данный момент
времени. В частном случае, когда график v
x
(t) представляет прямую линию,
тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен проекции
ускорения, т.е.
=




. Например, для графика на рис. 3 в первые две
секунды движения проекция ускорения равнялась
=
(

)
м/с
(

)
с
= 1м/с
, а со
2-й по 4-ю секунды
=
(
()
)
м/с
(

)
с
= −2 м с
⁄
.
Качественно: в случае движения с положительной проекцией ускорения
касательная к графику проекции скорости образует с осью времени острый
10
угол, а если проекция ускорения отрицательна – тупой угол (принято отсчет
угла проводить от оси абсцисс против часовой стрелки). Величина же
ускорения (его модуль) определяется крутизной графика скорости.
Задания для самостоятельной работы по графику v
x
(t) на рис. 3:
1) Определите x с 3-й по 8-ю секунду, с 8-й по 9-ю секунду, с 9-й по 10-ю,
за всё время движения точки.
2) Постройте график координаты x(t), если в начальный момент времени
t
0
= 0 x
0
= 0.
3) Постройте график a
x
(t).
4) Постройте график пройденного точкой пути как функцию времени.
5) Найдите среднее значение проекции скорости точки
〈
v
()
〉
∆
за
следующие промежутки времени: со 2-й по 4-ю секунду; со 2-й по 8-ю секунду;
за всё время движения. Найдите среднюю путевую скорость
〈
v()
〉
∆
точки за те
же промежутки времени.
6) Определите, в какой момент времени точка удалится от начального
положения на максимальное расстояние?
7) Считая, что при t
0
= 0 x
0
= 0, определите, в какой момент времени
координата точки снова окажется равной нулю.
8) Определите перемещение x и пройденный точкой путь
S
на участке,
на котором она двигалась с максимальным по величине ускорением.
9) Определите перемещение x и пройденный точкой путь
S
на участке,
на котором она двигалась с минимальным по величине ускорением. 
провести алгебраическое суммирование соответствующих величин. Например,                                угол, а если проекция ускорения отрицательна – тупой угол (принято отсчет
для графика на рис. 3 перемещение x за промежуток времени со 2-й по 4-ю                               угла проводить от оси абсцисс против часовой стрелки). Величина же
секунды будет равно нулю.                                                                              ускорения (его модуль) определяется крутизной графика скорости.
    Если x есть интеграл от проекции скорости (см. выражение (12)), то
пройденный путь S (t ) , согласно определению (6), есть интеграл от модуля                                   Задания для самостоятельной работы по графику vx(t) на рис. 3:

скорости. То есть для определения пройденного пути площади под графиком                                      1) Определите x с 3-й по 8-ю секунду, с 8-й по 9-ю секунду, с 9-й по 10-ю,

vx(t) нужно всегда складывать независимо от знака проекции скорости.                                   за всё время движения точки.

Например, для графика на рис. 3 за первые 3 секунды движения пройденный                                      2) Постройте график координаты x(t), если в начальный момент времени

путь S будет совпадать с проекцией перемещения x и будет равен 3 м, а за                              t0 = 0 x0 = 0.

промежуток времени со 2-й по 4-ю секунды пройденный путь будет равен 2 м.                                    3) Постройте график ax(t).

    По графику vx(t) можно найти среднее значение проекции скорости за                                       4) Постройте график пройденного точкой пути как функцию времени.

некий промежуток времени. Из определения средней скорости (3) следует, что                                   5) Найдите среднее значение проекции скорости точки 〈v ( )〉∆            за
             ∆                                                                                         следующие промежутки времени: со 2-й по 4-ю секунду; со 2-й по 8-ю секунду;
〈v ( )〉∆ =       , а как показано выше, перемещение x численно равно площади
             ∆
                                                                                                       за всё время движения. Найдите среднюю путевую скорость 〈v( )〉∆ точки за те
под графиком vx(t). Таким образом, например, для рис. 3 за первые 3 секунды
                                                                                                       же промежутки времени.
движения среднее значение проекции скорости равняется 3 м / 3 с=1 м/с.
                                                                                                             6) Определите, в какой момент времени точка удалится от начального
    По графику vx(t) можно также определить проекцию ускорения                               ( ). Из
                                                                                                       положения на максимальное расстояние?
определения ускорения (10) следует, что ускорение есть производная от
                                                                                                             7) Считая, что при t0 = 0 x0 = 0, определите, в какой момент времени
                                                           ∆
скорости по времени, то есть              ( ) = lim∆   →       =   . Геометрический смысл              координата точки снова окажется равной нулю.
                                                           ∆

производной есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.                                   8) Определите перемещение x и пройденный точкой путь S на участке,
Следовательно, тангенс угла наклона касательной к графику vx(t) численно                               на котором она двигалась с максимальным по величине ускорением.
равен величине проекции ускорения материальной точки в данный момент                                         9) Определите перемещение x и пройденный точкой путь S на участке,
времени. В частном случае, когда график vx(t) представляет прямую линию,                               на котором она двигалась с минимальным по величине ускорением.
тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен проекции
ускорения, т.е.      =                . Например, для графика на рис. 3 в первые две
                                                                       (       )м/с
секунды движения проекция ускорения равнялась                      =       (    )с
                                                                                      = 1 м/с , а со
                             ((       )   )м/с
2-й по 4-ю секунды       =        (       )с
                                                 = −2 м⁄ с .

    Качественно: в случае движения с положительной проекцией ускорения
касательная к графику проекции скорости образует с осью времени острый
     9                                                                                                       10

Страницы