Анализ графиков кинематических величин движения материальной точки. Мухамедшин И.Р - 3 стр.

UptoLike

Рубрика: 

5
График зависимости ускорения a
x
точки от времени t.
Из определения ускорения (10) следует, что по заданной зависимости a
x
(t)
можно найти изменение проекции скорости v
x
= v
x
v
0x
за промежуток
времени t = t - t
0
:
(
)
=


(
)
=


v
=
(
)

v
=
(
)


∆v
= v
v

=
(
)

. (11)
Если a
x
(t) > 0, то в соответствии с геометрическим смыслом определенного
интеграла, изменение проекции скорости v
x
на графике a
x
(t) будет численно
равно площади между кривой a
x
(t), осью времени и двумя вертикальными
прямыми, проведенными через точки
0
t и t . Например, из рис. 1 следует, что
между 1-й и 3-й секундами точка двигалась с постоянным ускорением
a
x
(t)=2 м/с
2
. Тогда изменение проекции скорости на этом участке будет равно:
∆v
=

=
(
)
=
∆ .
Следовательно, с 1-й по 3-ю секунду изменение проекции скорости точки
составляет 2 м/с
2
×(3 с−1 с)=4 м/с и численно равно площади заштрихованного
прямоугольника.
Если a
x
(t) < 0, то v
x
равно площади под кривой
a
x
(t), лежащей ниже оси
абсцисс, взятой со знаком
минус (v
x
<0). Например, с 3-
й по 7-ю секунду движения
проекция скорости точки
изменяется на v
x
= - 8 м/с.
Если за время движения
точки ускорение принимает положительные и отрицательные значения, то для
нахождения изменения скорости за этот промежуток времени нужно провести
алгебраическое суммирование соответствующих площадей. Например, с 1 по
Рис. 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
+
+
a
x
, м/с
2
t, с
6
7-ю секунду движения (рис. 1) проекция скорости точки изменится на
v
x
= 4 м+ (8 м/с) = 4 м/с.
По графику зависимости ускорения от времени можно построить график
зависимости изменения проекции скорости v
x
(t) как функцию времени.
Например, на рис.2 представлен
график a
x
(t) и соответствующий ему
график v
x
(t). Для того, чтобы можно
было построить график зависимости
v
x
от времени, необходимо знать
начальное значение проекции
скорости v
0x
в момент времени t
0
.
Обратим внимание на то, что
знак проекции ускорения говорит
лишь о том, куда направлено
ускорение: по оси X (a
x
> 0) или
против оси X (a
x
< 0), но не позволяет
сделать вывод о том, возрастает или
уменьшается при этом скорость точки
- для этого необходимо еще знать и
направление вектора скорости. Если вектор ускорения совпадает по
направлению с вектором скорости, то скорость точки возрастает. Допустим,
что для движения, показанного на рис.2 , начальная скорость точки
0
v 0
x
.
Тогда на участке с 1-й по 3-ю секунду v
x
> 0 и a
x
> 0, и скорость возрастает. Она
также возрастает между 5-й и 7-й секундами, т.к. v
x
< 0 и a
x
< 0. На участке от 3-
ей до 5-й секунды вектор ускорения направлен противоположно вектору
скорости, при этом скорость уменьшается.
График a
x
(t) позволяет найти среднее значение проекции ускорения за
некий промежуток времени. Из определения среднего ускорения (8) следует,
что
()
∆
=
∆
∆
, а как показано выше, изменение проекции скорости v
x
Рис. 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
x
, м/с
2
t, с
v
x
, м/с
t, с
                                                                                                                 7-ю секунду движения (рис. 1) проекция скорости точки изменится на
          График зависимости ускорения ax точки от времени t.
                                                                                                                 vx = 4 м/с + (8 м/с) = 4 м/с.
          Из определения ускорения (10) следует, что по заданной зависимости ax(t)
                                                                                                                          По графику зависимости ускорения от времени можно построить график
можно найти изменение проекции скорости vx = vx – v0x за промежуток
                                                                                                                 зависимости изменения проекции скорости vx(t) как функцию времени.
времени t = t - t0:
                                                                                                                              2                                                Например,    на    рис.2   представлен
         ⃗( ) =
                       ⃗
                           →   ( )=             → v =           ( )    → ∫          v =∫         ( )    →
                                                                                                                 ax, м/с
                                                                                                                 3                                                             график ax(t) и соответствующий ему
                                                                                                                 2                                                             график vx(t). Для того, чтобы можно
                                         ∆v = v − v             =∫     ( )      .                       (11)
                                                                                                                 1
                                                                                                                 0
                                                                                                                                                                               было построить график зависимости
          Если ax(t) > 0, то в соответствии с геометрическим смыслом определенного
                                                                                                                      0   1       2   3   4       5     6   7   8   9    10
                                                                                                                 -1
                                                                                                                                                                        t, с   v x от времени, необходимо знать
интеграла, изменение проекции скорости vx на графике ax(t) будет численно                                       -2
равно площади между кривой ax(t), осью времени и двумя вертикальными                                             -3
                                                                                                                                                                               начальное     значение       проекции

прямыми, проведенными через точки t0 и t . Например, из рис. 1 следует, что                                                                                                    скорости v0x в момент времени t0.
                                                                                                                vx, м/с
                                                                                                                  5                                                                Обратим внимание на то, что
между 1-й и 3-й секундами точка двигалась с постоянным ускорением                                                 4
                                                                                                                  3                                                            знак проекции ускорения говорит
ax(t)=2 м/с2. Тогда изменение проекции скорости на этом участке будет равно:                                      2
                                                                                                                  1                                                     t, с   лишь    о   том,    куда   направлено
                                   ∆v =         ∫       =       ( −    )=       ∆ .                               0
                                                                                                                 -1 0     1   2       3   4       5     6   7   8   9    10    ускорение: по оси X (ax > 0) или
Следовательно, с 1-й по 3-ю секунду изменение проекции скорости точки                                            -2
                                                                                                                 -3                                                            против оси X (ax < 0), но не позволяет
составляет 2 м/с2×(3 с−1 с)=4 м/с и численно равно площади заштрихованного                                       -4
                                                                                                                                                                               сделать вывод о том, возрастает или
                                                                                                                 -5
               2                                                       прямоугольника.                                                                                         уменьшается при этом скорость точки
ax, м/с                                                                                                                                   Рис. 2
3
                                                                                Если ax(t) < 0, то vx                                                                         - для этого необходимо еще знать и
2
                                                                       равно площади под кривой                  направление вектора скорости. Если вектор ускорения совпадает по
                                                                       ax(t),       лежащей      ниже    оси     направлению с вектором скорости, то скорость точки возрастает. Допустим,
1                  +
                                                    +                  абсцисс, взятой со знаком
0                                                                                                                что для движения, показанного на рис.2 , начальная скорость точки v 0 x  0 .
     0     1       2       3   4     5      6   7   8       9    10
                                                                       минус (vx<0). Например, с 3-
-1                                   -                          t, с                                             Тогда на участке с 1-й по 3-ю секунду vx > 0 и ax > 0, и скорость возрастает. Она
-2                                                                     й по 7-ю секунду движения                 также возрастает между 5-й и 7-й секундами, т.к. vx < 0 и ax < 0. На участке от 3-
-3                                                                     проекция          скорости       точки    ей до 5-й секунды вектор ускорения направлен противоположно вектору
                                                                       изменяется на vx = - 8 м/с.              скорости, при этом скорость уменьшается.
                                   Рис. 1
                                                                       Если         за   время     движения               График ax(t) позволяет найти среднее значение проекции ускорения за
точки ускорение принимает положительные и отрицательные значения, то для                                         некий промежуток времени. Из определения среднего ускорения (8) следует,
нахождения изменения скорости за этот промежуток времени нужно провести                                                                       ∆
                                                                                                                 что 〈        ( )〉∆ =                 , а как показано выше, изменение проекции скорости vx
                                                                                                                                              ∆
алгебраическое суммирование соответствующих площадей. Например, с 1-й по
     5                                                                                                                    6