ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
График зависимости ускорения a
x
точки от времени t.
Из определения ускорения (10) следует, что по заданной зависимости a
x
(t)
можно найти изменение проекции скорости v
x
= v
x
– v
0x
за промежуток
времени t = t - t
0
:
⃗
(
)
=
⃗
→
(
)
=
→ v
=
(
)
→
∫
v
=
∫
(
)
→
∆v
= v
− v
=
∫
(
)
. (11)
Если a
x
(t) > 0, то в соответствии с геометрическим смыслом определенного
интеграла, изменение проекции скорости v
x
на графике a
x
(t) будет численно
равно площади между кривой a
x
(t), осью времени и двумя вертикальными
прямыми, проведенными через точки
0
t и t . Например, из рис. 1 следует, что
между 1-й и 3-й секундами точка двигалась с постоянным ускорением
a
x
(t)=2 м/с
2
. Тогда изменение проекции скорости на этом участке будет равно:
∆v
=
∫
=
(
−
)
=
∆ .
Следовательно, с 1-й по 3-ю секунду изменение проекции скорости точки
составляет 2 м/с
2
×(3 с−1 с)=4 м/с и численно равно площади заштрихованного
прямоугольника.
Если a
x
(t) < 0, то v
x
равно площади под кривой
a
x
(t), лежащей ниже оси
абсцисс, взятой со знаком
минус (v
x
<0). Например, с 3-
й по 7-ю секунду движения
проекция скорости точки
изменяется на v
x
= - 8 м/с.
Если за время движения
точки ускорение принимает положительные и отрицательные значения, то для
нахождения изменения скорости за этот промежуток времени нужно провести
алгебраическое суммирование соответствующих площадей. Например, с 1-й по
Рис. 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
+
+
a
x
, м/с
2
t, с
6
7-ю секунду движения (рис. 1) проекция скорости точки изменится на
v
x
= 4 м/с + (8 м/с) = 4 м/с.
По графику зависимости ускорения от времени можно построить график
зависимости изменения проекции скорости v
x
(t) как функцию времени.
Например, на рис.2 представлен
график a
x
(t) и соответствующий ему
график v
x
(t). Для того, чтобы можно
было построить график зависимости
v
x
от времени, необходимо знать
начальное значение проекции
скорости v
0x
в момент времени t
0
.
Обратим внимание на то, что
знак проекции ускорения говорит
лишь о том, куда направлено
ускорение: по оси X (a
x
> 0) или
против оси X (a
x
< 0), но не позволяет
сделать вывод о том, возрастает или
уменьшается при этом скорость точки
- для этого необходимо еще знать и
направление вектора скорости. Если вектор ускорения совпадает по
направлению с вектором скорости, то скорость точки возрастает. Допустим,
что для движения, показанного на рис.2 , начальная скорость точки
0
v 0
x
.
Тогда на участке с 1-й по 3-ю секунду v
x
> 0 и a
x
> 0, и скорость возрастает. Она
также возрастает между 5-й и 7-й секундами, т.к. v
x
< 0 и a
x
< 0. На участке от 3-
ей до 5-й секунды вектор ускорения направлен противоположно вектору
скорости, при этом скорость уменьшается.
График a
x
(t) позволяет найти среднее значение проекции ускорения за
некий промежуток времени. Из определения среднего ускорения (8) следует,
что
〈
()
〉
∆
=
∆
∆
, а как показано выше, изменение проекции скорости v
x
Рис. 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
x
, м/с
2
t, с
v
x
, м/с
t, с
7-ю секунду движения (рис. 1) проекция скорости точки изменится на
График зависимости ускорения ax точки от времени t.
vx = 4 м/с + (8 м/с) = 4 м/с.
Из определения ускорения (10) следует, что по заданной зависимости ax(t)
По графику зависимости ускорения от времени можно построить график
можно найти изменение проекции скорости vx = vx – v0x за промежуток
зависимости изменения проекции скорости vx(t) как функцию времени.
времени t = t - t0:
2 Например, на рис.2 представлен
⃗( ) =
⃗
→ ( )= → v = ( ) → ∫ v =∫ ( ) →
ax, м/с
3 график ax(t) и соответствующий ему
2 график vx(t). Для того, чтобы можно
∆v = v − v =∫ ( ) . (11)
1
0
было построить график зависимости
Если ax(t) > 0, то в соответствии с геометрическим смыслом определенного
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
t, с v x от времени, необходимо знать
интеграла, изменение проекции скорости vx на графике ax(t) будет численно -2
равно площади между кривой ax(t), осью времени и двумя вертикальными -3
начальное значение проекции
прямыми, проведенными через точки t0 и t . Например, из рис. 1 следует, что скорости v0x в момент времени t0.
vx, м/с
5 Обратим внимание на то, что
между 1-й и 3-й секундами точка двигалась с постоянным ускорением 4
3 знак проекции ускорения говорит
ax(t)=2 м/с2. Тогда изменение проекции скорости на этом участке будет равно: 2
1 t, с лишь о том, куда направлено
∆v = ∫ = ( − )= ∆ . 0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ускорение: по оси X (ax > 0) или
Следовательно, с 1-й по 3-ю секунду изменение проекции скорости точки -2
-3 против оси X (ax < 0), но не позволяет
составляет 2 м/с2×(3 с−1 с)=4 м/с и численно равно площади заштрихованного -4
сделать вывод о том, возрастает или
-5
2 прямоугольника. уменьшается при этом скорость точки
ax, м/с Рис. 2
3
Если ax(t) < 0, то vx - для этого необходимо еще знать и
2
равно площади под кривой направление вектора скорости. Если вектор ускорения совпадает по
ax(t), лежащей ниже оси направлению с вектором скорости, то скорость точки возрастает. Допустим,
1 +
+ абсцисс, взятой со знаком
0 что для движения, показанного на рис.2 , начальная скорость точки v 0 x 0 .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
минус (vx<0). Например, с 3-
-1 - t, с Тогда на участке с 1-й по 3-ю секунду vx > 0 и ax > 0, и скорость возрастает. Она
-2 й по 7-ю секунду движения также возрастает между 5-й и 7-й секундами, т.к. vx < 0 и ax < 0. На участке от 3-
-3 проекция скорости точки ей до 5-й секунды вектор ускорения направлен противоположно вектору
изменяется на vx = - 8 м/с. скорости, при этом скорость уменьшается.
Рис. 1
Если за время движения График ax(t) позволяет найти среднее значение проекции ускорения за
точки ускорение принимает положительные и отрицательные значения, то для некий промежуток времени. Из определения среднего ускорения (8) следует,
нахождения изменения скорости за этот промежуток времени нужно провести ∆
что 〈 ( )〉∆ = , а как показано выше, изменение проекции скорости vx
∆
алгебраическое суммирование соответствующих площадей. Например, с 1-й по
5 6
