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x =
−
P (1,t)
Q(1,t)
1/(n−m)
,
y
0
= tx.
x
4
+ y
04
− 2x
2
y
0
= 0.
x
4
+ y
04
4 2x
2
y
0
3
y
0
= tx,
x
4
+ t
4
x
4
− 2x
2
tx = 0 ⇒ x =
2t
1 + t
4
.
x =
2t
1+t
4
,
dy
dx
=
2t
2
1+t
4
.
F (x, y
0
) = 0 F (y, y
0
) = 0 x y
0
y y
0
F (x, p) = 0 F (y, p) = 0 y
0
= p
F
0
x
(x, p) = 0,
F
0
p
(x, p) = 0.
⇒ x = a, p = b.
x
1
= x−a, p
1
= p−b
y
2
y
0
− y
2
− y
02
+ 4y
0
− 4 = 0.
y
0
= p
F (y, p) ≡ py
2
− y
2
− p
2
+ 4p − 4 = 0.
F
0
y
(x, p) ≡ 2py − 2y = 0,
F
0
p
(x, p) ≡ y
2
− 2p + 4 = 0.
43
Ïàðàìåòðèçàöèÿ:
1/(n−m)
x = − P (1,t) ,
Q(1,t)
(5.35)
y 0 = tx.
Ïðèìåð 15. Ïàðàìåòðèçîâàòü óðàâíåíèå
x4 + y 04 − 2x2 y 0 = 0.
Ðåøåíèå. Âûðàæåíèå x4 + y 04 åñòü îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ 4 ãî ïîðÿäêà, 2x2 y 0 îäíî-
ðîäíàÿ ôóíêöèÿ 3 ãî ïîðÿäêà. Äåëàåì çàìåíó
y 0 = tx, (5.36)
òîãäà
2t
x4 + t4 x4 − 2x2 tx = 0 ⇒ x = . (5.37)
1 + t4
Ïîäñòàâëÿåì (5.37) â çàìåíó (5.36) è, òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðèçóåì óðàâíåíèå
x = 2t ,
1+t4
2
(5.38)
dy
= 2t .
dx 1+t4
5. Åñëè ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèé F (x, y 0 ) = 0 (F (y, y 0 ) = 0) åñòü ìíîãî÷ëåíû ïî x è y 0
(y è y 0 ), òîãäà F (x, p) = 0 (F (y, p) = 0) óðàâíåíèå àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé, ãäå y 0 = p.
Íàõîäèì óçëîâóþ òî÷êó èç ñèñòåìû
F 0 (x, p) = 0,
x
⇒ x = a, p = b. (5.39)
F 0 (x, p) = 0.
p
Ïåðåíîñèì íà÷àëî êîîðäèíàò â ýòó òî÷êó, ñäåëàâ çàìåíó x1 = x−a, p1 = p−b.  ðåçóëüòàòå
ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ óðàâíåíèÿ, ðàññìîòðåííûå â ïóíêòàõ 3 è 4.
Ïðèìåð 16. Ïàðàìåòðèçîâàòü óðàâíåíèå
y 2 y 0 − y 2 − y 02 + 4y 0 − 4 = 0.
Ðåøåíèå. Âîäèì ïàðàìåòð y 0 = p:
F (y, p) ≡ py 2 − y 2 − p2 + 4p − 4 = 0. (5.40)
Íàõîäèì óçëîâóþ òî÷êó èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
F 0 (x, p) ≡ 2py − 2y = 0,
y
(5.41)
F 0 (x, p) ≡ y 2 − 2p + 4 = 0.
p
