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dx
dy = sin tdx = −sin
2
tdt ⇒ y =
1
4
sin 2t −
t
2
+ C.
x = cos t,
y =
1
4
sin 2t −
t
2
+ C.
p
a
2
± y
02
√
a
2
± x
2
y
0
ctg x =
p
a
2
− y
02
.
y
0
= a sin t ctg x = ctg t
x = t,
y
0
= a sin t.
P (x, y
0
) + Q(x, y
0
) + R(x, y
0
) = 0,
P Q R m m+1 m+2
y
0
= tx
x
2
R(1, t) + xQ(1, t) + R(1, t) = 0.
x
x = ω(t)
x = ω(t),
y
0
= tx = tω(t).
P Q R y y
0
y
0
= ty
P (x, y
0
) + Q(x, y
0
) = 0,
P Q m n n > m
y
0
= tx
x
m
P (1, t) + x
n
Q(1, t) = 0 ⇒ x =
−
P (1, t)
Q(1, t)
1/(n−m)
.
42
Ïîäñòàâèì dx èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (5.31) âî âòîðîå:
1 t
dy = sin tdx = − sin2 tdt ⇒ y = sin 2t − + C.
4 2
Ïîëó÷àåì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå
x = cos t,
(5.32)
y = 1 sin 2t − t
+ C.
4 2
√
Óðàâíåíèå ñîäåðæèò a2 ± y 02 èëè a2 ± x2 , òîãäà ïàðàìåòðèçàöèÿ äîñòèãàåòñÿ òðè-
p
2.
ãîíîìåòðè÷åñêîé èëè ãèïåðáîëè÷åñêîé çàìåíîé.
Ïðèìåð 14. Ïàðàìåòðèçîâàòü óðàâíåíèå
p
y 0 ctg x = a2 − y 02 .
Ðåøåíèå. Äåëàåì çàìåíó y 0 = a sin t. Èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä ctg x = ctg t.
Îòñþäà,
x = t,
(5.33)
y 0 = a sin t.
3. Óðàâíåíèå âèäà
P (x, y 0 ) + Q(x, y 0 ) + R(x, y 0 ) = 0,
ãäå P , Q, R îäíîðîäíûå ôóíêöèè èçìåðåíèÿ m, m+1, m+2, ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçóåì
ïîäñòàíîâêó y 0 = tx:
x2 R(1, t) + xQ(1, t) + R(1, t) = 0.
Ïîëó÷èëè êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî x. Åñëè ñóùåñòâóþò âåùåñòâåííûå ðåøå-
íèÿ x = ω(t), èìååì ïàðàìåòðèçàöèþ
x = ω(t),
(5.34)
y 0 = tx = tω(t).
Åñëè P , Q, R ôóíêöèè àðãóìåíòîâ y è y 0 , òî äåëàåì çàìåíó y 0 = ty .
4. Óðàâíåíèå âèäà
P (x, y 0 ) + Q(x, y 0 ) = 0,
ãäå P , Q îäíîðîäíûå ôóíêöèè èçìåðåíèÿ m è n, ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü n > m. Èñïîëü-
çóåì ïîäñòàíîâêó y 0 = tx:
1/(n−m)
m n P (1, t)
x P (1, t) + x Q(1, t) = 0 ⇒ x = − .
Q(1, t)
