Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 40 стр.

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КФУ | Казань

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x =
1
p
2
(ln p + C),
y = 2px + 1/p.
y = 2px + 1/p,
∂y
∂p
=
∂(2px + 1/p)
∂p
⇒ y = 2px + 1/p, 0 = 2x − 1/p
2
.
x =
1
2p
2
, y = 2/p
y = ±2
√
2x.
y
2y = x
y
0
+
4
y
0
y = y
0
+
p
1 − y
02
y
03
= 3(xy
0
− y)
y = xy
0
+ y
02
y = xy
0
+
p
1 + y
02
y = C +
x
2
C
y = ±x
x = ln |p| − arcsin p + C,
y = p +
p
1 − p
2
.
C
3
= 3(Cx − y) 9y
2
= 4x
3
y = Cx + C
2
y = −
x
2
4
y = Cx +
√
1 + C
2
x
2
+ y
2
= 1
F (y
0
) = 0, F (y, y
0
) = 0, F (x, y
0
) = 0
F (y
0
) = 0, F
y−C
x
= 0.
F (x, y
0
) = 0
x = ϕ(t),
y
0
= ψ(t).
                                                         40


Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé èíòåãðàë áóäåò
                               
                                x=                     1
                                                        p2
                                                           (ln p   + C),
                                                                                                          (5.22)
                                            y = 2px + 1/p.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ îñîáîãî èíòåãðàëà ïî îáùåìó ïðàâèëó ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó
                                ∂y   ∂(2px + 1/p)
           y = 2px + 1/p,          =                          ⇒ y = 2px + 1/p,          0 = 2x − 1/p2 .
                                ∂p        ∂p
Îòñþäà
                                                      1
                                                x=       ,    y = 2/p
                                                     2p2
è, ñëåäîâàòåëüíî,
                                                        √
                                                  y = ±2 2x.
Ïîäñòàâëÿÿ y â óðàâíåíèå (5.21), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ðå-
øåíèåì è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (5.21) íå èìååò îñîáîãî èíòåãðàëà.
  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:
                       
  62.   2y = x y 0 + y40 .
        y = y 0 + 1 − y 02 .
                  p
  63.

  64.   y 03 = 3(xy 0 − y).
  65.   y = xy 0 + y 02 .
        y = xy 0 + 1 + y 02 .
                   p
  66.
                                                                              
                                                                               x = ln |p| − arcsin p + C,
                                2
  Îòâåòû: 62.       y = C + xC ; îñîáûé èíòåãðàë y = ±x.                63.                                  64.
                                                                               y = p + p1 − p 2 .
                                                                                                              2
C 3 = 3(Cx − y); îñîáûé èíòåãðàë 9y 2 = 4x3 . 65. y = Cx + C 2 ; îñîáûé èíòåãðàë y = − x4 .
             √
66. y = Cx +   1 + C 2 ; îñîáûé èíòåãðàë x2 + y 2 = 1.


                                    5.4   Íåïîëíûå óðàâíåíèÿ
Îïðåäåëåíèå      5.3. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà

                                F (y 0 ) = 0,    F (y, y 0 ) = 0,    F (x, y 0 ) = 0                      (5.23)

íàçûâàþòñÿ íåïîëíûìè.
  Åñëè óðàâíåíèå èìååò âèä F (y 0 ) = 0, òî îáùèé èíòåãðàë  F                         y−C
                                                                                             
                                                                                        x
                                                                                                 = 0.
  Êàê ïðàâèëî, óðàâíåíèÿ (5.23) ìîãóò áûòü ðåøåíû ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðèçàöèè. Ïàðà-
ìåòðèçóåì óðàâíåíèå F (x, y 0 ) = 0
                                                 
                                                  x = ϕ(t),
                                                                                                          (5.24)
                                                  y 0 = ψ(t).

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