Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = y
02
− xy
0
+
x
2
2
.
y
0
= p
y = p
2
− xp +
x
2
2
.
dy = 2pdp − xdp − pdx + xdx.
dy = pdx
(2p − x)(dp − dx) = 0.
dp − dx = 0 ⇒ p = x + C.
y = p
2
− xp + x
2
/2,
p = x + C.
p
y = x
2
/2 + Cx + C
2
.
y = x
2
/2 + Cx + C
2
,
∂y
∂C
=
∂
∂C
(x
2
/2 + Cx + C
2
) .
⇒
y = x
2
/2 + Cx + C
2
,
0 = x + 2C.
C y = x
2
/4
y = x
2
/4
2p − x = 0 ⇒ p = x/2.
y = p
2
− xp + x
2
/2,
p = x/2.
y = x
2
/4
y
02
+ xy = y
2
+ xy
0
y
02
+
x
y
y
0
+ 1 = 0
                                                 38


Ïðèìåð    11. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                            x2
                                        y = y 02 − xy 0 +      .              (5.13)
                                                            2
  Ðåøåíèå.     Ââîäèì ïàðàìåòð y 0 = p:
                                                            x2
                                        y = p2 − xp +          .              (5.14)
                                                            2
Íàéäåì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë

                                   dy = 2pdp − xdp − pdx + xdx.

Ñäåëàåì çàìåíó dy = pdx è ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå òàê, ÷òî

                                      (2p − x)(dp − dx) = 0.

Îòñþäà äâà ñëåäñòâèÿ:
1. dp − dx = 0 ⇒ p = x + C. Ïîëó÷èì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå
                                
                                 y = p2 − xp + x2 /2,
                                                                              (5.15)
                                      p = x + C.

Èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð p, èìååì îáùåå ðåøåíèå:

                                       y = x2 /2 + Cx + C 2 .                 (5.16)

Íàéäåì îñîáîå ðåøåíèå:
                                              
               y = x2 /2 + Cx + C 2 ,          y = x2 /2 + Cx + C 2 ,
                                             ⇒                                (5.17)
               ∂y = ∂ (x2 /2 + Cx + C 2 ) .    0 = x + 2C.
                 ∂C    ∂C

Èñêëþ÷àÿ C , ïîëó÷àåì ôóíêöèþ âèäà y = x2 /4. Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà ýòîé
ôóíêöèè â èñõîäíîå óðàâíåíèå (5.13) îáðàùàåò åãî â òîæäåñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ
y = x2 /4 ÿâëÿåòñÿ îñîáûì ðåøåíèåì.
2. 2p − x = 0 ⇒ p = x/2. Îòñþäà
                                     
                                      y = p2 − xp + x2 /2,
                                                                              (5.18)
                                      p = x/2.

Êàê âèäèì, y = x2 /4 òî æå ñàìîå îñîáîå ðåøåíèå.
  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  56.   y 02 + xy = y 2 + xy 0 .
  57.   y 02 + xy y 0 + 1 = 0.

Страницы