Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1
F (x, y, y
0
) = 0.
1
y
0
y
0
y
0
= f
1
(x, y), y
0
= f
2
(x, y).
Φ(x, y, C) ≡ Φ
1
(x, y, C)Φ
2
(x, y, C) = 0,
Φ
1
Φ
2
C
Φ(x, y, C) = 0, Φ
0
C
(x, y, C) = 0
p = y
0
F (x, y, p) = 0, F
0
p
(x, y, p) = 0.
xy
02
+ 2xy
0
− y = 0.
          Ãëàâà 5.         Óðàâíåíèÿ, íå ðàçðåøåííûå

                    îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé




 äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñïîñîáû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé 1  ãî ïîðÿäêà, íå ðàçðå-
øåííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé:

                                        F (x, y, y 0 ) = 0.                       (5.1)


    5.1     Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ 1  ãî ïîðÿäêà âûñøèõ
                               ñòåïåíåé
Åñëè óðàâíåíèå (5.1) âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî y 0 , òî, ðàçðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíî-
ñèòåëüíî y 0 , ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ:

                               y 0 = f1 (x, y),    y 0 = f2 (x, y).               (5.2)

Îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (5.1) èìååò âèä

                          Φ(x, y, C) ≡ Φ1 (x, y, C)Φ2 (x, y, C) = 0,              (5.3)

ãäå Φ1 è Φ2  îáùèå èíòåãðàëû óðàâíåíèé (5.2).
  Äëÿ óðàâíåíèÿ (5.1) ìîæåò ñóùåñòâîâàòü îñîáûé èíòåãðàë (îñîáîå ðåøåíèå). Ãåîìåò-
ðè÷åñêè îñîáûé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà êðèâûõ (5.3) è ìîæåò
áûòü ïîëó÷åí â ðåçóëüòàòå èñêëþ÷åíèÿ êîíñòàíòû C èç ñèñòåìû óðàâíåíèé

                             Φ(x, y, C) = 0,      Φ0C (x, y, C) = 0               (5.4)

èëè â ðåçóëüòàòå èñêëþ÷åíèÿ p = y 0 èç ñèñòåìû óðàâíåíèé

                              F (x, y, p) = 0,    Fp0 (x, y, p) = 0.              (5.5)

Ïðèìåð    10. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                    xy 02 + 2xy 0 − y = 0.                        (5.6)

Страницы