Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
ϕ(U
1
)dU
1
+
Z
ψ(U
2
)dU
2
= C.
ϕ ψ U
1
U
2
y(1 + yx)dx + (
1
2
x
2
y + y + 1)dy = 0.
y(1 + xy)dx +
1
2
x
2
ydy
+ (y + 1)dy = 0.
µ
1
=
1
y
U
1
= x +
1
2
x
2
y
µ
2
= 1 U
2
=
y
2
2
+ y.
1
y
ϕ
(
x+
1
2
x
2
y
)
= 1 · ψ
y
2
2
+y
.
ϕ
y ϕ(U
1
) = ϕ(U
1
) = 1
ψ U
2
b
U
2
= y
1
y
= ψ(y)
µ =
1
y
µ =
1
y
(1 + xy)dx +
1
2
x
2
+ 1 +
1
y
dy = 0.
U = x +
x
2
2
y + y + ϕ(y); ϕ
0
(y) = 1 +
1
y
⇒ ϕ(y) = y + ln y.
x +
x
2
2
y + y + ln y = C.
(x
2
+ y
2
+ 2x)dx + 2xydy = 0
y
x
dx + (y
3
+ ln x) dy = 0
xe
x
+
y
x
2
−
y
0
x
= 0
                                                               34


è, ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (4.18) çàïèøåòñÿ òàê:
                           Z             Z
                              ϕ(U1 )dU1 + ψ(U2 )dU2 = C.                                            (4.20)

Çàìå÷àíèå       1. Ïîäáîð ôóíêöèè ϕ è ψ èíîãäà îáëåã÷àåòñÿ çàìåíîé èíòåãðàëîâ U1 è U2
äðóãèìè èíòåãðàëàìè, îïðåäåëåííûìè â òîé æå îáëàñòè. Íî òîãäà íåëüçÿ çàïèñûâàòü
îáùèé èíòåãðàë ïî ôîðìóëå (4.20).
Ïðèìåð   9. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                        1
                                         y(1 + yx)dx + ( x2 y + y + 1)dy = 0.                       (4.21)
                                                        2
  Ðåøåíèå.       Ðàçîáüåì óðàâíåíèå íà äâå ãðóïïû:
                                                
                                           1 2
                             y(1 + xy)dx + x ydy + (y + 1)dy = 0.
                                           2
Äëÿ ïåðâîé èç íèõ µ1 =                  1
                                        y
                                          ,   U1 = x + 12 x2 y . Âòîðàÿ ãðóïïà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé
                                                       y2
äèôôåðåíöèàë, òàê ÷òî µ2 = 1, U2 =                     2
                                                            + y. Ðàâåíñòâî (4.19) ïðèìåò âèä
                                                 1
                                                   ϕ 1 2 = 1 · ψ y2 +y .                          (4.22)
                                                 y (x+ 2 x y)      2


Ôóíêöèþ ϕ íóæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ñòàëà ôóíêöèåé,
çàâèñÿùåé òîëüêî îò y . Ïîýòîìó íóæíî ïîëîæèòü ϕ(U1 ) = const, íàïðèìåð ϕ(U1 ) = 1.
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå (1), äëÿ óäîáñòâà ïîäáîðà ôóíêöèè ψ çàìåíèì èíòåãðàë U2
èíòåãðàëîì U
           b2 = y . Òîãäà ðàâåíñòâî (4.19) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå 1 = ψ(y), ïîýòîìó
                                                                   y
èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü óðàâíåíèÿ (4.21) áóäåò µ = y1 . Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ
(4.21) íà µ = y1 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ
                                                     
                                            1 2     1
                             (1 + xy)dx +     x +1+     dy = 0.
                                            2       y
Èíòåãðèðóÿ åãî, íàõîäèì
                                      x2                                     1
                      U =x+              y + y + ϕ(y);        ϕ0 (y) = 1 +     ⇒ ϕ(y) = y + ln y.
                                      2                                      y
Îáùèì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (4.21) áóäåò
                                                       x2
                                                  x+      y + y + ln y = C.
                                                       2
  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  46.   (x2 + y 2 + 2x)dx + 2xydy = 0.
  47.
        y
        x
          dx   + (y 3 + ln x) dy = 0.
                          y0
  48.
           x
        xe +     y
                 x2
                      −   x
                               = 0.

Страницы