Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(
p
x
2
− y + 2x)dx − dy = 0,
µ = µ(x
2
− y)
ω = x
2
− y
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
∂ω
∂x
− M
∂ω
∂y
=
(−1)
2
√
x
2
−y
−2x + (
p
x
2
− y + 2x)
= −
1
2(x
2
− y)
= −
1
2ω
≡ ψ(ω).
µ = e
R
ψ(ω)dω
= e
−
R
(
1
2ω
)
dω
=
1
√
ω
=
1
p
x
2
− y
.
1
√
x
2
−y
dx +
2xdx − dy
p
x
2
− y
= 0 ⇒ dx +
d(x
2
− y)
p
x
2
− y
= 0 ⇒
⇒ dx + 2d(
p
x
2
− y) = 0 ⇒ x + 2
p
x
2
− y = C.
µ y = x
2
y = x
2
(M
1
(x, y)dx + N
1
(x, y)dy) + (M
2
(x, y)dx + N
2
(x, y)dy) = 0
µ
1
µ
2
µ
1
(M
1
dx + N
1
dy) = dU
1
, µ
2
(M
2
dx + N
2
dy) = dU
2
.
ϕ(U
1
) ψ(U
2
)
µ
1
ϕ(U
1
) = µ
2
ψ(U
2
).
µ = µ
1
ϕ(U
1
) = µ
2
ψ(U
2
)
ϕ(U
1
)dU
1
+ ψ(U
2
)dU
2
= 0,
                                                         33


Ïðèìåð    8. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                               p
                              ( x2 − y + 2x)dx − dy = 0,

åñëè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåãî èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü èìååò âèä µ = µ(x2 − y).
  Ðåøåíèå.   Ïîëàãàÿ â óñëîâèè (4.14) ω = x2 − y ,

             ∂M
                   −   ∂N               √(−1)
              ∂y       ∂x                 x2 −y
                                            2                1          1
              ∂ω
                               =                      =−           = −    ≡ ψ(ω).
                       M ∂ω
                                        p
            N ∂x   −      ∂y     −2x + ( x2 − y + 2x)    2(x2 − y)     2ω

Ïîýòîìó
                                                    R 1          1     1
                                                = e− ( 2ω )dω = √ = p
                                   R
                                       ψ(ω)dω
                               µ=e                                           .
                                                                  ω   x2 − y
Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íà √ 12                         è ãðóïïèðóÿ, ïîëó÷èì
                                                               x −y

                               2xdx − dy            d(x2 − y)
                          dx + p         = 0 ⇒ dx + p         =0⇒
                                  x2 − y               x2 − y
                                    p                   p
                          ⇒ dx + 2d( x2 − y) = 0 ⇒ x + 2 x2 − y = C.
Çäåñü µ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü â òî÷êàõ êðèâîé y = x2 . Ôóíêöèÿ y = x2 ÿâëÿåòñÿ
ïîòåðÿííûì ðåøåíèåì.
  2.   Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü óðàâíåíèÿ (4.11) ìîæíî îòûñêàòü ñ ïîìîùüþ ðàçáèåíèÿ
ýòîãî óðàâíåíèÿ íà ãðóïïû, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ëåãêî íàõîäèòñÿ èíòåãðèðóþùèé
ìíîæèòåëü.
  Ïóñòü óðàâíåíèå (4.11) äîïóñêàåò ðàçáèåíèå íà äâå òàêèå ãðóïïû:

                   (M1 (x, y)dx + N1 (x, y)dy) + (M2 (x, y)dx + N2 (x, y)dy) = 0             (4.18)

è µ1 , µ2 - èõ èíòåãðèðóþùèå ìíîæèòåëè, òàê ÷òî

                        µ1 (M1 dx + N1 dy) = dU1 ,            µ2 (M2 dx + N2 dy) = dU2 .

  Ïîïûòàåìñÿ ïîäîáðàòü ôóíêöèè ϕ(U1 ) è ψ(U2 ) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû

                                                µ1 ϕ(U1 ) = µ2 ψ(U2 ).                       (4.19)

Òîãäà ôóíêöèÿ
                                           µ = µ1 ϕ(U1 ) = µ2 ψ(U2 )
áóäåò èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì âñåãî óðàâíåíèÿ (4.18), êîòîðîå ïîñëå óìíîæåíèÿ îáå-
èõ åãî ÷àñòåé íà ýòîò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ïðèìåò âèä

                                         ϕ(U1 )dU1 + ψ(U2 )dU2 = 0,

Страницы