Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
µ(x, y) 6= 0
µ(x, y)
µ(x, y)
µ(x, y)
µ(x, y)
µ(x, y) x y
∂(µM)
∂y
≡
∂(µN)
∂x
.
N
∂µ
∂x
− M
∂µ
∂y
= µ
∂M
∂y
−
∂N
∂x
.
µ = µ(ω) ω x y
µ
ω
dµ
dω
= ψ(ω)µ,
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
∂ω
∂x
− M
∂ω
∂y
≡ ψ(ω),
ω
µ = ce
R
ψ(ω)dω
.
x (ω = x) y(ω = x)
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
≡ ψ(x) (µ = e
R
ψ(x)dx
)
∂M
∂y
−
∂N
∂x
−M
≡ ψ(y) (µ = e
R
ψ(y)dy
).
                                                    31


                        4.2   Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü
Îïðåäåëåíèå    4.2. Èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì äëÿ óðàâíåíèÿ

                                   M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0                          (4.11)

íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ µ(x, y) 6= 0, ïîñëå óìíîæåíèÿ íà êîòîðóþ óðàâíåíèå ïðåâðà-
ùàåòñÿ â óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.
     Åñëè íàéäåí èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü µ(x, y), òî èíòåãðèðîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ îáåèõ åãî ÷àñòåé íà µ(x, y) è íàõîæäåíèþ îáùåãî èíòåãðàëà ïî-
ëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Åñëè µ(x, y) âî âñåõ òî÷êàõ íåêîòîðîé
êðèâîé îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, òî âîçìîæíà ïîòåðÿ íåêîòîðûõ ðåøåíèé äàííîãî
óðàâíåíèÿ; åñëè µ(x, y) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî åñòü âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ïîñòîðîííèå
ðåøåíèÿ. Åñëè µ(x, y) åñòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ îò x è y , òî
                                        ∂(µM )   ∂(µN )
                                               ≡        .
                                          ∂y       ∂x
Îòñþäà                                                                       
                                ∂µ    ∂µ                     ∂M   ∂N
                              N    −M    =µ                     −                   .   (4.12)
                                ∂x    ∂y                     ∂y   ∂x
1.   Åñëè çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî µ = µ(ω), ãäå ω - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ îò x è y , òî óðàâíåíèå
(4.12) ñâîäèòñÿ ê îáûêíîâåííîìó óðàâíåíèþ ñ íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé µ îò íåçàâèñèìîé
ïåðåìåííîé ω
                                            dµ
                                               = ψ(ω)µ,                                 (4.13)
                                            dω
ãäå
                                        ∂M        ∂N
                                         ∂y
                                              −   ∂x
                                         ∂ω
                                                           ≡ ψ(ω),                      (4.14)
                                       N ∂x   −   M ∂ω
                                                     ∂y

ò.å. äðîáü ñëåâà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò ω .
     Ðåøàÿ óðàâíåíèå (4.13), íàõîäèì èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü
                                                     R
                                                         ψ(ω)dω
                                            µ = ce                .

      ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèå (4.11) èìååò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü, çàâèñÿùèé òîëüêî îò
x (ω = x) èëè òîëüêî îò y(ω = x), åñëè âûïîëíåíû, ñîîòâåòñòâåííî, ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
                              ∂M       ∂N
                              ∂y
                                   −   ∂x
                                                                      R
                                            ≡ ψ(x) (µ = e                 ψ(x)dx
                                                                                   )    (4.15)
                                   N
èëè
                              ∂M       ∂N
                              ∂y
                                   −   ∂x
                                                                      R
                                            ≡ ψ(y) (µ = e                 ψ(y)dy
                                                                                   ).   (4.16)
                                −M

Страницы