Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(x
3
− y)dx − (y
2
+ x)dy = 0.
x
3
dx − ydx − y
2
dy −xdy = 0.
x
3
dx = d
x
4
4
, y
2
dy = d
y
3
3
, −ydx − xdy = −d(xy),
d
x
4
4
−
y
3
3
− xy
= 0 ⇒
x
4
4
−
y
3
3
− xy = C.
y
x
dx + (y
3
+ ln x)dy = 0.
y
3
dy = d
y
4
4
,
y
x
dx + ln xdy = yd ln x + dy ln x = d(y ln x).
d
y
4
4
+ y ln x
= 0 ⇒
y
4
4
+ y ln x = C.
ϕ(x, y) ψ(x, y) (x, y)
(g, z) z = ϕ(x, y), g = ψ(x, y)
ydx − (x
3
y + x)dy = 0.
x
2
ydx − xdy
x
2
− xydy = 0 ⇒ d
y
x
+ xydy = 0.
(x, y) (z, y) z =
y
x
dz +
y
2
z
dy = 0.
zdz + y
2
dy = 0 ⇒
z
2
2
+
y
3
3
= C.
1
2
y
x
2
+
y
3
3
= C.
x
2
x = 0
                                                          29


Ïðèìåð      3. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                         (x3 − y)dx − (y 2 + x)dy = 0.

     Ðåøåíèå.   Ñíà÷àëà âûäåëÿåì ãðóïïó ÷ëåíîâ, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ïîëíûé äèôôå-
ðåíöèàë:
                                         x3 dx − ydx − y 2 dy − xdy = 0.
Òàê êàê
                                    x4                   y3
                       x3 dx = d       ,    y 2 dy = d      ,   −ydx − xdy = −d(xy),      (4.10)
                                    4                    3
òî
                            x4 y 3                  x4 y 3
                                       
                         d     −    − xy = 0 ⇒         −     − xy = C.
                            4    3                  4    3
Ïðèìåð      4. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                  y
                                    dx + (y 3 + ln x)dy = 0.
                                  x
     Ðåøåíèå.
                                 y4      y
                    y 3 dy = d      ,      dx + ln xdy = yd ln x + dy ln x = d(y ln x).
                                 4       x
Îòñþäà

                              y4                y4
                                        
                           d     + y ln x = 0 ⇒    + y ln x = C.
                              4                 4
     4.   Åñëè â óðàâíåíèè ìîæíî âûäåëèòü ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû íåêîòîðûõ ôóíêöèé
ϕ(x, y) è ψ(x, y), òî èíîãäà óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ, åñëè îò ïåðåìåííûõ (x, y) ïåðåéòè ê
ïåðåìåííûì (g, z), ãäå z = ϕ(x, y), g = ψ(x, y).
Ïðèìåð      5. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                            ydx − (x3 y + x)dy = 0.

     Ðåøåíèå.   Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå íà x2 , ïîëó÷àåì
                       ydx − xdy                 y
                                  − xydy = 0 ⇒ d      + xydy = 0.
                           x2                     x
     Ïåðåéä¼ì îò ïåðåìåííûõ (x, y) ê ïåðåìåííûì (z, y), ãäå z = xy :
                                                         y2
                                                dz +        dy = 0.
                                                         z
Îòêóäà
                                                                z2 y3
                                        zdz + y 2 dy = 0 ⇒        +   = C.
                                                                2   3
Âîçâðàùàåìñÿ ê ñòàðûì ïåðåìåííûì:
                               1  y 2   y3
                                             = C.         +
                                 2 x       3
Ïðè äåëåíèè íà -x2 áûëî ïîòåðÿíî ðåøåíèå x = 0.

Страницы