Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
3
dx − 2xy
2
dy − x
4
dy + 2yx
3
dx = 0, (x > 0, y > 0).
y
2
(ydx − 2xdy) + x
3
(2ydx − xdy) = 0.
ydx − 2xdy = y
3
d
x
y
2
,
2ydx − xdy =
y
2
x
d
x
2
y
.
y
5
d
x
y
2
+ y
2
x
2
d
x
2
y
= 0.
u =
x
y
2
, v =
x
2
y
,
y =
v
u
2
1
3
, x =
v
2
u
1
3
.
v
u
2
5
3
du +
v
2
u
2
3
v
u
2
2
3
dv = 0.
u
−
4
3
du + v
1
3
dv = 0,
−u
−
1
3
+
1
4
v
4
3
= C.
x y
x
3
4
− y
2
= C
3
p
y
4
x.
                                                   30


Ïðèìåð   6. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:

                 y 3 dx − 2xy 2 dy − x4 dy + 2yx3 dx = 0,                  (x > 0,   y > 0).

  Ðåøåíèå.   Ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî âûäåëèòü ïîëíûå
äèôôåðåíöèàëû
                          y 2 (ydx − 2xdy) + x3 (2ydx − xdy) = 0.

Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (4.9), ïîëó÷èì
                                                                        
                                                            3       x
                                 ydx − 2xdy = y d                            ,
                                                                    y2
                                             y2                     x2
                                                                        
                                 2ydx − xdy = d                              .
                                             x                      y
Ïîýòîìó óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                             2
                            5   x       2 2    x
                           y d      + y  x  d      = 0.
                                y2             y
Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ
                                            x                   x2
                                     u=        ,        v=         ,
                                            y2                  y
Îòñþäà
                                    v  13                               13
                                                                    v2
                                                                
                                y=          ,           x=                       .
                                    u2                              u
Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå
                             v  53       2  23   2
                                           v        v 3
                               2
                                     du +                dv = 0.
                             u             u        u2
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
                                        4               1
                                     u− 3 du + v 3 dv = 0,

Èíòåãðèðóåì
                                         1  1 4
                                     −u− 3 + v 3 = C.
                                            4
Âîçâðàùàåìñÿ ê ïåðåìåííûì x è y :
                                     x3          p
                                        − y 2 = C 3 y 4 x.
                                     4

Страницы