Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(1 − yx
2
)dx + x
2
(x − y)dy = 0.
x
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
=
−x
2
− 2xy + 3x
2
x
2
(y −x)
= −
2
x
≡ ψ(x),
µ = e
R
ψ(x)dx
= exp(−
Z
2
x
dx) =
1
x
2
.
1
x
2
1
x
2
− y
dx + (y −x)dy = 0.
∂M
∂y
=
∂(
1
x
2
− y)
∂y
= −1,
∂N
∂x
=
∂(y − x)
∂x
= −1,
∂F
∂x
=
1
x
2
− y
∂F
∂y
= y −x.
F = −
1
x
− yx + ϕ(y).
F
ϕ(y)
ϕ
0
= y ⇒ ϕ =
y
2
2
.
F = −
1
x
− yx +
y
2
2
.
−
1
x
− yx +
y
2
2
= C.
µ
x = 0 µ x = 0
x = 0
                                                        32


Ïðèìåð   7. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                (1 − yx2 )dx + x2 (x − y)dy = 0.

  Ðåøåíèå.   Ïðîâåðèì, íå èìååò ëè îíî èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ, çàâèñÿùåãî òîëüêî
îò x:
                       ∂M       ∂N
                       ∂y
                            −   ∂x        −x2 − 2xy + 3x2    2
                                     =        2
                                                          = − ≡ ψ(x),
                            N                x (y − x)       x
ò.å. óñëîâèå (4.15) âûïîëíåíî. Ïîýòîìó
                                                                  Z
                                     R
                                         ψ(x)dx                        2       1
                            µ=e                   = exp(−                dx) = 2 .
                                                                       x      x
  Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íà x12 , ïîëó÷àåì
                                 
                             1
                               − y dx + (y − x)dy = 0.
                            x2
Óáåäèìñÿ, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ:
                    ∂M  ∂( 12 − y)                           ∂N   ∂(y − x)
                       = x         = −1,                        =          = −1,
                    ∂y      ∂y                               ∂x      ∂x
Îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñèñòåìû
                                
                                 ∂F = 1 − y
                                                             x2
                                                   ∂x
                                                                                     (4.17)
                                                   ∂F
                                            
                                                   ∂y
                                                        = y − x.

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.17) íàõîäèì
                                              1
                                         F = − − yx + ϕ(y).
                                              x
Ïîäñòàâëÿåì F âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.17), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ
ϕ(y):
                                                                      y2
                                           ϕ0 = y ⇒ ϕ =                  .
                                                                      2
Îòñþäà
                                     1     y2
                               F = − − yx + .
                                     x     2
Îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:
                                           1       y2
                                          − − yx +    = C.
                                           x       2
  Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü µ â íóëü íå îáðàùàåòñÿ, çíà÷èò ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé íåò.
Ïðè x = 0 µ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ò.å âîçìîæíî x = 0  ïîòåðÿííîå ðåøåíèå.
Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà â èñõîäíîå óðàâíåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì.

Страницы