Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y) = x
2
y −
y
3
3
.
x
2
y −
y
3
3
= C.
Z
x
x
0
M(x, y)dx +
Z
y
y
0
N(x
0
, y)dy = C
Z
x
x
0
M(x, y
0
)dx +
Z
y
y
0
N(x, y)dy = C,
x
0
y
0
(x
0
, y
0
)
D
(3x
2
+ 6xy
2
)dx + (6x
2
y + 4y
3
)dy = 0.
∂M
∂y
=
∂N
∂x
= 12xy,
x
0
= 0 y
0
= 0
Z
x
0
(3x
2
+ 6xy
2
)dx +
Z
y
0
4y
3
dy = C.
x
3
+ 3x
2
y
2
+ y
4
= C.
d(x
a
y
b
) = x
a−1
y
b−1
(aydx + bxdy), d(xy) = xdy + ydx,
d
x
y
=
ydx − xdy
y
2
, d(y
a
) = ay
a−1
dy, d(ln y) =
dy
y
                                                       28


Èç (4.6) ñëåäóåò
                                                                      y3
                                          F (x, y) = x2 y −              .
                                                                      3
Îáùèé èíòåãðàë èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
                                                       y3
                                             x2 y −       = C.
                                                       3
  2.   Îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (4.1) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå
                          Z x              Z y
                              M (x, y)dx +     N (x0 , y)dy = C                                         (4.7)
                                 x0                     y0

èëè                          Z    x                    Z     y
                                      M (x, y0 )dx +             N (x, y)dy = C,                        (4.8)
                               x0                       y0

ãäå íèæíèå ïðåäåëû x0 è y0 âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíî, íî òàê, ÷òîáû òî÷êà (x0 , y0 ) ïðè-
íàäëåæàëà îáëàñòè D.
  Â ýòèõ ôîðìóëàõ èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ, â òî âðåìÿ
êàê âòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì, ïðè÷åì â îäíîì èç èíòåãðàëîâ ïàðàìåòð ôèêñèðóåòñÿ
(ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì íèæíåìó ïðåäåëó äðóãîãî èíòåãðàëà).
Ïðèìåð   2. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                             (3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2 y + 4y 3 )dy = 0.

  Ðåøåíèå.   Çäåñü
                                           ∂M   ∂N
                                              =    = 12xy,
                                           ∂y   ∂x
ò.å. óñëîâèå (4.2) âûïîëíåíî, è, ñëåäîâàòåëüíî, äàííîå óðàâíåíèå åñòü óðàâíåíèå â ïîëíûõ
äèôôåðåíöèàëàõ.
  Íàéäåì îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ ïî ôîðìóëå (4.7). Âçÿâ x0 = 0, y0 = 0, ïîëó÷èì
                       Z x                 Z y
                              2     2
                           (3x + 6xy )dx +     4y 3 dy = C.
                                 0                                0

Îòñþäà
                                          x3 + 3x2 y 2 + y 4 = C.
  3.   Äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ óðàâíåíèé ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä âûäåëåíèÿ ïîëíûõ
äèôôåðåíöèàëîâ, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ôîðìóëû:

                   d(xa y b ) = xa−1 y b−1 (aydx + bxdy),               d(xy) = xdy + ydx,              (4.9)

                 
                 x    ydx − xdy                                                          dy
              d     =           ,           d(y a ) = ay a−1 dy,             d(ln y) =        è ò. ï.
                 y        y2                                                             y

Страницы