Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ(y) y
ϕ(y)
y
∂F
∂y
= N ϕ(y)
ϕ
0
(y) = ω(y)
y ϕ(y)
ϕ(y) =
R
ω(y)dy
Z
M(x, y)dx +
Z
ω(y)dy = C.
∂F
∂y
= N
Z
N(x, y)dx +
Z
ω
1
(y)dy = C.
Z
x
x
0
M(x, y)dx +
Z
y
y
0
N(x
0
, y)dy = C.
x
0
y
0
2xydx + (x
2
− y
2
)dy = 0.
M(x, y) = 2xy; N(x, y) = x
2
− y
2
.
∂M
∂y
=
∂(2xy)
∂y
= 2x,
∂N
∂x
=
∂(x
2
− y
2
)
∂x
= 2x,
F (x, y)
∂F
∂x
= 2xy
∂F
∂y
= x
2
− y
2
.
F (x, y) =
Z
2xydx = x
2
y + ϕ(y).
x
2
+ ϕ
0
(y) = x
2
− y
2
⇒ ϕ
0
(y) = −y
2
⇒ ϕ(y) = −
y
3
3
.
                                               27


ãäå ϕ(y) - ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò y .
  Âûáèðàåì ϕ(y) òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ (4.4) áûëà ðåøåíèåì è âòîðîãî èç óðàâíåíèé (4.3).
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (4.4) ïî y è ïîëàãàÿ             ∂F
                                                         ∂y
                                                              = N , ïîëó÷àåì äëÿ íàõîæäåíèÿ ϕ(y)
ëåãêî èíòåãðèðóåìîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ϕ0 (y) = ω(y), ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî
çàâèñèò òîëüêî îò y . Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, âèäèì, ÷òî â êà÷åñòâå ϕ(y) ìîæíî âçÿòü
ϕ(y) = ω(y)dy . Ïîýòîìó îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (4.1) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
       R
                             Z              Z
                                M (x, y)dx + ω(y)dy = C.

Àíàëîãè÷íî èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ ∂F
                               ∂y
                                  = N , ïðèõîäèì ê îáùåìó èíòåãðàëó âèäà
                           Z             Z
                             N (x, y)dx + ω1 (y)dy = C.

Îáùèé èíòåãðàë ìîæíî íàéòè ñðàçó, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
                       Z x              Z y
                           M (x, y)dx +     N (x0 , y)dy = C.
                             x0                 y0

  Çíà÷åíèå x0 è y0 âûáèðàþò òàê, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ýòè äâà èíòåãðàëà, à ïîñëåäíèé
èìåë íàèáîëåå ïðîñòîé âèä.
Ïðèìåð    1. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                  2xydx + (x2 − y 2 )dy = 0.

  Ðåøåíèå.   Â äàííîì ïðèìåðå

                           M (x, y) = 2xy;     N (x, y) = x2 − y 2 .

Òàê êàê
                     ∂M    ∂(2xy)        ∂N    ∂(x2 − y 2 )
                         =        = 2x,      =              = 2x,
                      ∂y     ∂y           ∂x      ∂x
òî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ F (x, y)
îïðåäåëÿåòñÿ èç ñèñòåìû
                                     
                                          ∂F
                                              = 2xy
                                          ∂x
                                                                                           (4.5)
                                          ∂F         2        2
                                     
                                          ∂y
                                               =x −y .

Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå èç ñèñòåìû (4.5), ïîëó÷èì
                                    Z
                          F (x, y) = 2xydx = x2 y + ϕ(y).                                  (4.6)

Ïîäñòàâëÿåì (4.6) âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.5), ïîëó÷àåì
                                                                           y3
                   x2 + ϕ0 (y) = x2 − y 2 ⇒ ϕ0 (y) = −y 2 ⇒ ϕ(y) = −          .
                                                                           3

Страницы