Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = x
−1
z(x)
z
0
= z
2
+ 2
z
x
+
2
x
2
+ 2.
z = u(x) + α(x)
u
0
+ α
0
= u
2
+ α
2
+ 2αu + 2
u
x
+ 2
α
x
+
2
x
2
+ 2.
α(x) u
2α +
2
x
= 0 α = −
1
x
.
u
0
= u
2
+ 2,
du
u
2
+ 2
= dx,
1
√
2
arctg
u
√
2
= x + C, u =
√
2 tg(
√
2x + C).
y(x)
y =
√
2
x
tg(
√
2x + C) −
1
x
2
, −
π
2
√
2
−
C
√
2
< x <
π
2
√
2
−
C
√
2
.
y
0
− 2xy + y
2
= 5 − x
2
x
2
y
0
= x
2
y
2
+ yx + 1
y
0
= −y
2
+ x
4
xy
0
= y
2
− 3y + 4x
2
+ 2
y = x + 2 +
4
Ce
4x
−1
, y = x + 2
y = −
1
x
+
1
x(C−ln x)
y =
1
x
+ tg(−1/x + C)/x
2
y = 2x tg(2x + C) + 2
                                                    25


Äåëàåì ïîäñòàíîâêó y = x−1 z(x) â èñõîäíîì óðàâíåíèè
                                                       z  2
                                          z 0 = z 2 + 2 + 2 + 2.
                                                       x x
Ïåðåõîäèì ê íîâîé ôóíêöèè z = u(x) + α(x) â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè
                                                       u   α  2
                            u0 + α0 = u2 + α2 + 2αu + 2 + 2 + 2 + 2.
                                                       x   x x
Ôóíêöèþ α(x) ïîäáèðàåì òàê, ÷òîáû àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè u ðàâíÿ-
ëàñü íóëþ:
                                  2                    1
                                     = 0 èëè α = − .
                                       2α +
                                  x                    x
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè:
                                                                √       √
                                                
       0    2        du           1          u
      u = u + 2,          = dx,  √   arctg   √     = x + C, u =   2 tg(   2x + C).
                   u2 + 2          2           2
Âîçâðàùàåìñÿ ê ôóíêöèè y(x):
                 √
                   2 √            1     π   C       π   C
              y=    tg( 2x + C) − 2 , − √ − √ < x < √ − √ .
                  x              x     2 2   2     2 2   2
  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé:

  42.   y 0 − 2xy + y 2 = 5 − x2 .
  43.   x2 y 0 = x2 y 2 + yx + 1.
  44.   y 0 = −y 2 + x4 .
  45.   xy 0 = y 2 − 3y + 4x2 + 2.
  Îòâåòû:

  42.   y =x+2+          4
                      Ce4x −1
                               ,    y = x + 2.
  43.   y=   − x1 +    1
                    x(C−ln x)
                              .
  44.   y=   1
             x
               + tg(−1/x     + C)/x2 .
  45.   y = 2x tg(2x + C) + 2.

Страницы