Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

tz
0
+
1
2
z +
1
2
z
2
= −
1
2
t
α =
1
2
, β =
1
2
, γ = −
1
2
.
z = −1 +
t
u
tu
0
−
1
2
u −
1
2
u
2
=
1
2
t.
u = v
√
t
√
tv
0
=
1 + v
2
2
,
v = tg(
√
t + C), −
π
2
− C ≤
√
t ≤
π
2
− C.
u =
√
t tg(
√
t + C), z = −1 +
√
t ctg(
√
t + C).
y(x)
y =
1
x
2
ctg
1
x
+ C
−
1
x
.
y = α(x)z
y = α(x)z
±1
y = z +β(x)
z(x)
y
0
=
±y
2
+ R(x) R(x) = Bx
m
y
0
= y
2
+ C
xy
0
= x
2
y
2
+ y + 2x
−2
+ 2.
y = β(x)z
1
xβ
0
z + xβz
0
= β
2
x
2
z
2
+ βz + 2x
−2
+ 2.
z
β
β
2
x
2
= 1 β = x
−1
.
                                                   24


ïîëó÷àåì                                                   
                       10   1 2    1         1    1       1
                  tz + z + z = − t α = , β = , γ = −          .
                       2    2      2         2    2       2
×òîáû ïðèâåñòè ýòî óðàâíåíèå ê âèäó (3.15), íóæíî ïðèìåíèòü îäèí ðàç ïîäñòàíîâêó
(3.18), ò.å z = −1 + ut , ïîñëå ÷åãî èìååì
                                      1     1    1
                                 tu0 − u − u2 = t.
                                      2     2    2
                                        √
Ýòî óðàâíåíèå âèäà (3.15). Ïîëàãàÿ u = v t, íàõîäèì
                                          √            1 + v2
                                              tv 0 =          ,
                                                         2
îòêóäà
                                   √         π     √   π
                            v = tg( t + C), − − C ≤ t ≤ − C.
                                             2         2
Ñëåäîâàòåëüíî,
                            √        √                            √         √
                      u=        t tg( t + C),     z = −1 +            t ctg( t + C).
Ïåðåõîäèì ê ôóíêöèè y(x):                                    
                                        1              1           1
                                    y = 2 ctg            +C       − .
                                       x               x           x

                                       Çàìåíà          y = α(x)z

Óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè (3.12) ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè âèäà y = α(x)z ìîæíî ïðèâåñòè ê
òàêîìó óðàâíåíèþ Ðèêêàòè, â êîòîðîì êîýôôèöèåíò ïðè êâàäðàòå èñêîìîé ôóêíêöèè
ðàâåí ±1.
  Ïîäñòàíîâêîé âèäà y = z + β(x) ìîæíî, íå ìåíÿÿ êîýôôèöèåíòà ïðè êâàäðàòå èñêîìîé
ôóíêöèè, ñäåëàòü ðàâíûì íóëþ ñóììó êîýôôèöèåíòîâ ïðè z(x).
  Êîìáèíèðóÿ óêàçàííûå ïîäñòàíîâêè, óðàâíåíèå Ðèêêàòè ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó y 0 =
±y 2 + R(x). Åñëè ïðè ýòîì îêàæåòñÿ, ÷òî R(x) = Bxm , ïîëó÷àåì ñïåöèàëüíîå óðàâíåíèå
Ðèêêàòè.
Ïðèìåð   14. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, ïðèâåäÿ åãî ê âèäó y 0 = y 2 + C :

                                    xy 0 = x2 y 2 + y + 2x−2 + 2.

  Ðåøåíèå. C ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè y          = β(x)z ïðèâåäåì ê óðàâíåíèþ Ðèêêàòè, â êîòîðîì
êîýôôèöèåíò ïðè êâàäðàòå èñêîìîé ôóíêöèè ðàâåí 1:

                            xβ 0 z + xβz 0 = β 2 x2 z 2 + βz + 2x−2 + 2.

Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíò ïðè êâàäðàòå èñêîìîé ôóíêöèè z åäèíèöå, ïîëó÷àåì óðàâíå-
íèÿ íà ôóíêöèþ β :
                                    β 2 x2 = 1 èëè β = x−1 .

Страницы