Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= A
y
2
x
+
1
2
y
x
+ C
y
0
= A
y
2
x
+
1
2
y
x
+ C y
0
x −
1
2
y −Ay
2
= Cx
y = z
√
x
√
xz
0
=
Az
2
+ C
y
0
+ Ay
2
= Bx
m
y
0
+ Ay
2
= Bx
m
m = 0 m = −2
m
m
2m + 4
= k (k ∈ Z).
x y
t z
x
m+2
= t, y =
z(t)
x
=
z(t)
t
1/(m+2)
, y
0
x
=
y
0
t
x
0
t
,
tz
0
+ αz + βz
2
= γt
α = k −
1
2
,
z =
t
1+α
γ
+ u
z = −
α
β
+
t
u
,
α
y
0
= y
2
+ x
−4
.
m = −4 k = 1
y =
z
x
= z(t)
√
t, x
−2
= t, y
0
x
=
y
0
t
x
0
t
=
z(t)
√
t
0
t
(1/
√
t)
0
t
= −2t
2
z
0
t
− tz,
                                                     23


                                                                      2
                      Óðàâíåíèå Ðèêêàòè âèäà                  y 0 = A yx +        1y
                                                                                  2x
                                                                                       +C

Óðàâíåíèå Ðèêêàòè âèäà
                               y2 1 y                         1
                      y0 = A     +    +C           èëè y 0 x − y − Ay 2 = Cx                (3.15)
                               x   2x                         2
                  √                                                     √
ïîäñòàíîâêîé y = z x ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè xz 0 =
Az 2 + C è, ñëåäîâàòåëüíî, âñåãäà èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

                   Ñïåöèàëüíîå óðàâíåíèå Ðèêêàòè                    y 0 + Ay 2 = Bxm

Îïðåäåëåíèå    3.5. Óðàâíåíèå âèäà

                                           y 0 + Ay 2 = Bxm                                 (3.16)

íàçûâàåòñÿ ñïåöèàëüíûì óðàâíåíèåì Ðèêêàòè.
  Ïðè m = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè; ïðè m = −2 ïîëó-
÷àåì óðàâíåíèå âèäà (3.13). Óðàâíåíèå èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ òàêæå
ïðè âñåõ m, äëÿ êîòîðûõ
                                 m
                                      = k (k ∈ Z).                           (3.17)
                               2m + 4
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîæíî ïðèâåñòè ê óðàâíåíèþ âèäà (3.15). Ââîäÿ âìåñòî x è y
íîâûå ïåðåìåííûå t è z ïî ôîðìóëàì
                                               z(t)     z(t)                      yt0
                         xm+2 = t,      y=          = 1/(m+2) ,      yx0 =            ,
                                                x     t                           x0t
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå                                                       
                                0              2                   1
                               tz + αz + βz = γt              α=k−            ,
                                                                   2
êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ âèäà (3.15) ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ
ïîäñòàíîâîê:
                                t              α   t
                               z=     èëè z = − + ,
                                     1+α                                                    (3.18)
                                 +u   γ
                                               β u
ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàþùèõ èëè óìåíüøàþùèõ ÷èñëî α íà åäèíèöó.
Ïðèìåð   13. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                            y 0 = y 2 + x−4 .

  Ðåøåíèå.     Çäåñü m = −4, óñëîâèå (3.17) âûïîëíåíî, ïðè÷åì k = 1. Ïðèìåíÿÿ ïîäñòà-
íîâêè                                                             √ 0
                  z      √                              y 0   z(t) t
               y = = z(t) t,        x−2 = t,       yx0 = t0 =    √ 0 t = −2t2 zt0 − tz,
                  x                                     xt    (1/ t)t

Страницы