Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

b = 1 ⇒ y
1
= e
x
y = e
x
+
1
z
z
0
= −1 ⇒ z = −(x + C).
y(x)
y = e
x
−
1
x + C
.
y
0
= Ay
2
+
B
x
y +
C
x
2
y
0
= Ay
2
+
B
x
y +
C
x
2
,
A B C (B + 1)
2
> 4AC
y
1
=
a
x
,
a
y =
z
x
y
0
=
1
2
y
2
+
1
2x
2
.
y
1
=
a
x
y
1
−
a
x
2
=
a
2
2x
2
+
1
2x
2
⇒ a
2
+ 2a + 1 = 0,
a = −1 y
1
= −
1
x
y = y
1
+
1
z
= −
1
x
+
1
z
,
z
0
−
z
x
= −
1
2
,
z =
x
2
(C − ln |x|).
y = −
1
x
+
2
x(C − ln |x|)
.
                                              22


Îòñþäà b = 1 ⇒ y1 = ex . Äåëàåì çàìåíó
                                                         1
                                        y = ex +
                                                         z
â èñõîäíîì óðàâíåíèè
                                 z 0 = −1 ⇒ z = −(x + C).
Âîçâðàùàåìñÿ ê ôóíêöèè y(x):
                                                    1
                                     y = ex −          .
                                                   x+C

                    Óðàâíåíèå Ðèêêàòè âèäà                   y 0 = Ay 2 + Bx y +   C
                                                                                   x2

Óðàâíåíèå Ðèêêàòè âèäà
                                           B     C
                                   y 0 = Ay 2 +
                                             y + 2,                            (3.13)
                                           x     x
ãäå A, B è C - ïîñòîÿííûå ÷èñëà, ïðè÷åì (B + 1)2 > 4AC , èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå
                                                   a
                                          y1 =       ,                                  (3.14)
                                                   x
ãäå a - íåêîòîðîå ïîñòîÿííîå ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ïîäñòàíîâêîé (3.14) â óðàâíåíèå (3.13).
  Óðàâíåíèå (3.13) ìîæíî òàêæå ïðèâåñòè ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
ïóòåì çàìåíû y = xz .
Ïðèìåð    12. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                         1     1
                                     y0 = y2 + 2 .
                                         2    2x
  Ðåøåíèå.   Åãî ÷àñòíîå ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå y1 = xa . Ïîäñòàâëÿÿ y1 â óðàâíåíèå,
ïîëó÷àåì
                           a     a2       1
                           −2
                              =    2
                                     +      2
                                              ⇒ a2 + 2a + 1 = 0,
                          x     2x       2x
îòêóäà a = −1. Ñëåäîâàòåëüíî, y1 = − x1 . Ïîëàãàÿ òåïåðü
                                              1   1 1
                                  y = y1 +      =− + ,
                                              z   x z
ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ
                                              z   1
                                       z0 −     =− ,
                                              x   2
êîòîðîå ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííîé èëè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Èíòå-
ãðèðóåì åãî, íàõîäèì
                                         x
                                    z=     (C − ln |x|).
                                         2
Ïîýòîìó
                                    1      2
                                 y=− +              .
                                    x x(C − ln |x|)

Страницы