Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(x, y)dx + N(x, y)dy + P (x, y)(xdy − ydx) = 0,
M(x, y) N(x, y) m P
l (l 6= m − 1)
N 6= 0 y = zx
l = m−2 N ≡ 0 y = zx
y = z
i
x (x 6= 0)
z
i
M(1, z) + N(1, z)z = 0
xdx + ydy + x(xdy − ydx) = 0.
y = zx (1 + z
2
)dx + (zx + x
2
)dz = 0
dx
dz
+
zx
1 + z
2
= −
x
2
1 + z
2
.
1
x
= C
√
1 + z
2
+ z.
z
y
x
C
p
x
2
+ y
2
+ y − 1 = 0.
−x
p
x
2
− y
2
dx + xdy − ydx = 0.
N ≡ 0 y = zx
x(z
0
x + z) − zx = x
√
x
2
− z
2
x
2
⇒ z
0
=
√
1 − z
2
⇒ z = sin(x + C),
−
π
2
− C ≤ x ≤
π
2
− C z = ±1
y = x sin(x + C), −
π
2
− C ≤ x ≤
π
2
− C; y = ±x (x 6= 0).
y
0
= p(x)y
2
+ q(x)y + r(x),
y
                                                   20


                                 3.4      Óðàâíåíèå Äàðáó
Îïðåäåëåíèå   3.3. Óðàâíåíèå âèäà

                         M (x, y)dx + N (x, y)dy + P (x, y)(xdy − ydx) = 0,         (3.11)

ãäå M (x, y) è N (x, y) - îäíîðîäíûå ôóíêöèè ñòåïåíè m, à P - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ ñòåïåíè
l (l 6= m − 1), íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Äàðáó.
  Óðàâíåíèå Äàðáó, â êîòîðîì N 6= 0, ïðè ïîìîùè çàìåíû y = zx ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíå-
íèþ Áåðíóëëè, à â ñëó÷àå l = m−2 - ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ. Åñëè N ≡ 0, òî çàìåíà y = zx
ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Ïîëóïðÿìûå y = zi x (x 6= 0), ãäå
zi - êîðíè óðàâíåíèÿ M (1, z) + N (1, z)z = 0, ìîãóò áûòü îñîáûìè ðåøåíèÿìè.
Ïðèìåð   8. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                  xdx + ydy + x(xdy − ydx) = 0.

  Ðåøåíèå.    Ïîëàãàÿ y = zx, èìååì (1 + z 2 )dx + (zx + x2 )dz = 0. Îòñþäà
                              dx     zx          x2
                                  +       = −         .
                              dz 1 + z 2       1 + z2
Ýòî óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Èíòåãðèðóåì åãî, íàõîäèì
                                 1    √
                                   = C 1 + z 2 + z.
                                 x
Çàìåíÿÿ z íà x , ïîëó÷àåì
             y
                               p
                              C x2 + y 2 + y − 1 = 0.
Ïðèìåð   9. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                              p
                           −x x2 − y 2 dx + xdy − ydx = 0.

  Ðåøåíèå.    Ýòî óðàâíåíèÿ Äàðáó, â êîòîðîì N ≡ 0. Ïîëàãàåì y = zx:
                                   √                   √
              x(z 0 x + z) − zx = x x2 − z 2 x2 ⇒ z 0 = 1 − z 2 ⇒ z = sin(x + C),

ãäå − π2 − C ≤ x ≤   − C . Îñîáûå ðåøåíèÿ z = ±1. Ñëåäîâàòåëüíî,
                     π
                     2
                                    π           π
                y = x sin(x + C), − − C ≤ x ≤ − C; y = ±x (x 6= 0).
                                    2           2

                                3.5      Óðàâíåíèå Ðèêêàòè
Îïðåäåëåíèå   3.4. Óðàâíåíèå âèäà

                                      y 0 = p(x)y 2 + q(x)y + r(x),                 (3.12)

â êîòîðîì ïðàâàÿ ÷àñòü åñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ îò èñêîìîé ôóíêöèè y , íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì Ðèêêàòè.

Страницы