Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z = C
0
x
2
+ x y(x)
y = −ln (C
0
x
2
+ x).
(sin
2
y + x ctg y)y
0
= 1
dx = (sin y + 3 cos y + 3x)dy
4y
2
dx +
e
1
2y
+ x
dy = 0
cos yy
0
− 3 sin y/x = x
3
y
0
y
−
2x ln y
x
2
−1
= x + 1
x = (C −cos y) sin y x = −sin y cos y + C sin y y = e
1/(2y)
+ Ce
1/(4y)
sin y = x
4
+ Cx
3
ln y = (x
2
− 1) ln |x − 1| + C(x
2
− 1)
y
0
+ a(x)y = b(x)y
n
, (n 6= 1)
y
n
z = y
−n+1
z
0
+ (−n + 1)a(x)z = (−n + 1)b(x).
z
xy
0
− 4y = x
2
√
y.
n =
1
2
x
√
y
1
√
y
dy
dx
−
4
x
√
y = x.
z =
√
y,
dz
dx
=
1
2
√
y
dy
dx
.
dz
dx
−
2z
x
=
x
2
.
dz
dx
=
2z
x
⇒
dz
z
=
2dx
x
⇒ ln |z| = 2 ln |x| + ln |C| ⇒ z = Cx
2
.
                                                              18


 ðåçóëüòàòå z = C0 x2 + x. Ïåðåõîäèì ê ôóíêöèè y(x):

                                                  y = − ln (C0 x2 + x).

   Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

   33.   (sin2 y + x ctg y)y 0 = 1.
   34.   dx = (siny + 3 cosy + 3x)dy .
                             1
   35.   4y 2 dx + e 2y + x dy = 0.
   36.   cos yy 0 − 3 sin y/x = x3 .
         y0
   37.
         y
              −   2x ln y
                  x2 −1
                            = x + 1.
   Îòâåòû: 33.              x = (C − cos y) sin y . 34. x = − sin y cos y + C sin y . 35. y = e1/(2y) + Ce1/(4y) .
36.   sin y = x4 + Cx3 .         37.   ln y = (x2 − 1) ln |x − 1| + C(x2 − 1).


                                         3.3     Óðàâíåíèå Áåðíóëëè
Îïðåäåëåíèå          3.2. Óðàâíåíèå âèäà

                                            y 0 + a(x)y = b(x)y n ,   (n 6= 1)                              (3.9)

íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè.
   Ïåðâûé ñïîñîá ðåøåíèÿ.                      Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.9) íà y n è ñäåëàåì çàìåíó
z = y −n+1 :
                                         z 0 + (−n + 1)a(x)z = (−n + 1)b(x).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî z .
Ïðèìåð        6. Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå Áåðíóëëè:
                                                                   √
                                                     xy 0 − 4y = x2 y.
                                                       √
   Ðåøåíèå.         Çäåñü n = 21 . Äåëèì îáå ÷àñòè íà x y :
                                                    1 dy   4√
                                                   √     −    y = x.
                                                     y dx x
Ââîäèì íîâóþ ïåðåìåííóþ:
                                       dz     1 dy   √
                                          = √   z=  .    y,
                                       dx    2 y dx
Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå è ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå
                                  dz 2z    x
                                      −   = .
                                  dx    x  2
Ðåøàåì îäíîðîäíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå:
                        dz   2z   dz   2dx
                           =    ⇒    =     ⇒ ln |z| = 2 ln |x| + ln |C| ⇒ z = Cx2 .
                        dx   x    z     x

Страницы