Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = C(y)e
−y
x x
0
= C
0
(y)e
−y
− Ce
−y
C
0
(y)e
−y
= 2e
y
⇒ dC = 2e
2y
dy ⇒ C = e
2y
+ C
0
.
x = C
0
e
−y
+ e
y
.
xdx = (x
2
− 2y + 1)dy.
z(x) = x
2
− 2y(x) + 1 ⇒ dz = 2xdx − 2dy,
xdx =
1
2
dz + dy.
dz = 2(z − 1)dy ⇒
dz
z − 1
= 2dy ⇒ ln |z − 1| = ln |C| + 2y ⇒ z − 1 = Ce
2y
.
y(x)
x
2
− 2y = Ce
2y
.
x(e
y
− y
0
) = 2.
x(1 − y
0
e
−y
) = 2e
−y
.
e
−y
= z −e
−y
y
0
= z
0
z
0
−
2
x
z = −1.
z
0
−
2
x
z = 0 ⇒
dz
z
= 2
dx
x
⇒ ln |z| = 2 ln |x| + ln |C| ⇒ z = Cx
2
.
z = C(x)x
2
C
0
x
2
= −1 ⇒ C =
1
x
+ C
0
.
                                              17


Ðåøåíèå (3.7) èùåì â âèäå x = C(y)e−y . Ïîäñòàâëÿåì x è x0 = C 0 (y)e−y − Ce−y â (3.7),
ïîëó÷àåì
                     C 0 (y)e−y = 2ey ⇒ dC = 2e2y dy ⇒ C = e2y + C0 .
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                      x = C0 e−y + ey .
  2.   Ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê ëèíåéíûì.
Ïðèìåð   4. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:

                                  xdx = (x2 − 2y + 1)dy.

  Ðåøåíèå.   Äåëàåì çàìåíó:

                        z(x) = x2 − 2y(x) + 1 ⇒ dz = 2xdx − 2dy,

îòêóäà
                                        1
                                  xdx = dz + dy.
                                        2
Ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíîå óðàâíåíèå è ïîëó÷àåì
                              dz
         dz = 2(z − 1)dy ⇒       = 2dy ⇒ ln |z − 1| = ln |C| + 2y ⇒ z − 1 = Ce2y .
                             z−1
Âîçâðàùàåìñÿ ê ôóíêöèè y(x):
                                      x2 − 2y = Ce2y .
Ïðèìåð   5. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                       x(ey − y 0 ) = 2.

  Ðåøåíèå.   Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå

                                    x(1 − y 0 e−y ) = 2e−y .

Äåëàåì çàìåíó íåèçâåñòíîé ôóíêöèè e−y = z . Òîãäà −e−y y 0 = z 0 . Ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíîå
óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå
                                            2
                                       z 0 − z = −1.                                 (3.8)
                                            x
Èñïîëüçóåì ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé. Ðåøàåì ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå:
                  2        dz    dx
              z0 − z = 0 ⇒    =2    ⇒ ln |z| = 2 ln |x| + ln |C| ⇒ z = Cx2 .
                  x        z     x
Ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå z = C(x)x2 . Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (3.8):
                                                      1
                                 C 0 x2 = −1 ⇒ C =      + C0 .
                                                      x

Страницы