Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = uv
v
u
0
−
2u
x
+
v
0
u −
3
x
2
= 0.
u
0
−
2u
x
= 0 ⇒
du
u
= 2
dx
x
⇒ ln |u| = ln x
2
+ ln |C| ⇒ u = Cx
2
.
u
1
= x
2
u
1
v
0
x
2
−
3
x
2
= 0, dv = 3
dx
x
4
, v(x, C) = C −
1
x
3
.
u
1
(x) v(x, C)
y = Cx
2
−
1
x
.
(x + 1)y
0
− 2y = (x + 1)
4
y
0
−
y
x
= −
12
x
3
y
0
+
2y
x
= x
3
y
0
− y tg x =
1
cos x
, y(0) = 0
xy
0
+ y = x sin x, y(π) = 1/π
y = (x + 1)
2
(x
2
/2 + x + C) y = 4/x
2
+ Cx y = x
4
/6 + C/x
2
y =
x
cos x
y = −cos x + (sin x − π + 1)/x
(2e
y
− x)y
0
= 1.
dx + xdy = 2e
y
dy
x y
y
x
0
y
= 1/y
0
x
⇒
dx
dy
+ x = 2e
y
.
dx
dy
+ x = 0 ⇒
dx
x
= −dy ⇒ ln |x| = −y + ln |C| ⇒ x = Ce
−y
.
                                                              16


     Ðåøåíèå.       Ïîëîæèì, y = uv è ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó
                                                      
                                          2u           3
                                  v u −0          0
                                              + v u − 2 = 0.                                                 (3.6)
                                           x           x
Ðåøàåì óðàâíåíèå
                 2u       du     dx
                    =0⇒u0 −  =2     ⇒ ln |u| = ln x2 + ln |C| ⇒ u = Cx2 .
                  x        u      x
Âûáèðàåì îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå u1 = x2 . Ïîäñòàâëÿÿ u1 â óðàâíåíèå (3.6), ïîëó÷èì
                             3             dx                 1
                              2
                                  v 0 x2 −
                                = 0, dv = 3 4 , v(x, C) = C − 3 .
                            x              x                 x
Óìíîæàåì u1 (x) è v(x, C), ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ:
                                                                 1
                                                        y = Cx2 − .
                                                                 x
     Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé è ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, åñëè äàíû íà÷àëüíûå

óñëîâèÿ:

     28.   (x + 1)y 0 − 2y = (x + 1)4 .
     29.   y0 −   y
                  x
                     = − x123 .
     30.   y0 +   2y
                  x
                     = x3 .
     31.   y 0 − y tg x =       1
                              cos x
                                    ,   y(0) = 0.
     32.   xy 0 + y = x sin x,          y(π) = 1/π .
     Îòâåòû: 28.          y = (x + 1)2 (x2 /2 + x + C).        29.   y = 4/x2 + Cx.   30.   y = x4 /6 + C/x2 .   31.

y=      x
      cos x
            . 32.   y = − cos x + (sin x − π + 1)/x.


                  3.2       Ñïîñîáû ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèé ê ëèíåéíûì
1.   Íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ëèíåéíûìè, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè èñêîìóþ ôóíê-
öèþ è íåçàâèñèìîå ïåðåìåííîå.
Ïðèìåð       3. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                                       (2ey − x)y 0 = 1.

     Ðåøåíèå.       Çàïèøåì äàííîå óðàâíåíèå â äèôôåðåíöèàëàõ: dx + xdy = 2ey dy . Òàê êàê
â ýòî óðàâíåíèå x è y âõîäÿò ëèíåéíî, òî óðàâíåíèå áóäåò ëèíåéíûì, åñëè õ ñ÷èòàòü
èñêîìîé ôóíêöèåé, à y - íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Òîãäà
                                                               dx
                                              x0y = 1/yx0 ⇒       + x = 2ey .                                (3.7)
                                                               dy
Èñïîëüçóåì ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé. Ðåøàåì ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå:
                        dx       dx
                           +x=0⇒    = −dy ⇒ ln |x| = −y + ln |C| ⇒ x = Ce−y .
                        dy       x

Страницы