Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
− y · ctg x = sin x.
y
0
− y · ctgx = 0,
dy
y
=
cos xdx
sin x
,
dy
y
=
d sin x
sin x
,
ln |y| = ln |sin x| + ln |C|, y = C · sin x.
y = C(x) ·sin x.
y y
0
= C
0
(x) · sin x + C(x) · cos x
C
0
(x) · sin x + C · cos x − ctg x · C(x) sin x = sin x,
C
0
(x) = 1 C(x) = x + C
0
y = (x + C
0
) sin x.
y(x) = u(x)v(x)
v (u
0
+ a(x)u(x)) + (v
0
u − b(x)) = 0.
u(x)
u(x)
u
0
+ a(x)u(x) = 0
u = u
1
(x) u
1
(x)
u
v(x)
v
0
u − b(x) = 0.
v = v(x, C)
u
1
(x) v(x, C)
y = u
1
(x)v(x, C).
y
0
−
2y
x
=
3
x
2
.
                                                    15


Ïðèìåð   1. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                       y 0 − y · ctg x = sin x.

  Ðåøåíèå.   Ðåøàåì ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå:
                                               dy   cos xdx         dy   d sin x
                      y 0 − y · ctgx = 0,         =         ,          =         ,
                                               y     sin x          y     sin x
                           ln |y| = ln | sin x| + ln |C|,       y = C · sin x.
Îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå

                                            y = C(x) · sin x.

Ïîäñòàâëÿåì y è y 0 = C 0 (x) · sin x + C(x) · cos x â èñõîäíîå óðàâíåíèå:

                      C 0 (x) · sin x + C · cos x − ctg x · C(x) sin x = sin x,

îòêóäà C 0 (x) = 1, òîãäà C(x) = x + C0 . Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åñòü

                                        y = (x + C0 ) sin x.

  2.Ìåòîä ïîäñòàíîâêè.           Ïîëîæèì, y(x) = u(x)v(x). Òîãäà óðàâíåíèå (3.1) ïðèìåò
âèä
                             v (u0 + a(x)u(x)) + (v 0 u − b(x)) = 0.                 (3.5)

Âûáåðåì ôóíêöèþ u(x) òàê, ÷òîáû ïåðâàÿ ñêîáêà â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.5) îáðàòè-
ëàñü â íóëü, ò. å. u(x) - ÷àñòíîå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.2). Äëÿ ýòîãî èíòåãðè-
ðóåì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè

                                        u0 + a(x)u(x) = 0

è âûáèðàåì êàêîå ëèáî ÷àñòíîå ðåøåíèå u = u1 (x). Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ u1 (x) âìåñòî
u â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3.1), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè v(x):
                                            v 0 u − b(x) = 0.
Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ v = v(x, C). Ïåðåìíîæàÿ íàéäåííûå ôóíêöèè
u1 (x) è v(x, C), ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1):

                                        y = u1 (x)v(x, C).

Ïðèìåð   2. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                    2y   3
                                             y0 −      = 2.
                                                    x   x

Страницы